$\text{a, BE ⊥ AC (gt) ⇒ $\widehat{BEA}=\widehat{BEC}=90°$ Hay $\widehat{HEA}=90°$}$

$\text{CF ⊥ AB (gt) ⇒ $\widehat{CFA}=\widehat{CFB}=90°$ Hay $\widehat{HFA}=90°$}$

$\text{Có $\widehat{BEC}=\widehat{CFB}=90°$}$

$\text{⇒ Hai điểm E và F cùng nhìn BC dưới một góc vuông }$

$\text{⇒ Hai điểm E và F cùng thuộc đường tròn đường kính BC}$

$\text{⇒ Bốn điểm B, F, E, C cùng thuộc đường tròn đường kính BC}$

$\text{⇒ Tứ giác BFEC nội tiếp đường tròn đường kính BC}$

$\text{⇒ $\widehat{FBC}+\widehat{FEC}=180°$ (hai góc đối trong tứ giác nội tiếp)}$

$\text{Mà $\widehat{FBM}+\widehat{FBC}=180°$ (hai góc kề bù)}$

$\text{⇒ $\widehat{FBM}=\widehat{FEC}$ Hay $\widehat{FBM}=\widehat{MEC}$}$

$\text{Xét ΔMFB và ΔMCE có: }$

$\text{$\widehat{MBF}=\widehat{MEC}$ (cmt)}$

$\text{$\widehat{EMC}$: góc chung}$

$\text{⇒ ΔMFB ~ ΔMCE (g.g)}$

$\text{⇒ $\frac{MF}{MC}=\frac{MB}{ME}$ (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)}$

$\text{⇒ ME.MF=MB.MC (1)}$

$\text{b, Xét (O), đường kính AK có:}$

$\text{+ B ∈ (O) (gt) ⇒ $\widehat{ABK}=90°$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ⇒ KB ⊥ AB}$

$\text{+ C ∈ (O) (gt) ⇒ $\widehat{ACK}=90°$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ⇒ KC ⊥ AC}$

$\text{Có BE ⊥ AC (gt), KC ⊥ AC (cmt) ⇒ BE // CK (từ vuông góc đến song song )}$

$\text{Có CF ⊥ AB (gt), BK ⊥ AB (cmt) ⇒ BK // CF (từ vuông góc đến song song )}$

$\text{Xét tứ giác HCKB có:}$

$\text{BH // KC (BE // CK)}$

$\text{CH // BK (BK // CF)}$

$\text{⇒ Tứ giác HCKB là hình bình hành (Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)}$

$\text{Mà BC cắt HK tại I}$

$\text{I là trung điểm của BC (gt)}$

$\text{⇒ I là trung của của HK}$

$\text{⇒ Ba điểm H, I, K thẳng hàng}$

$\text{c, Gọi N là giao điểm của AM và (O)}$

$\text{Xét (O), có A, N, B, C ∈ (O)}$

$\text{⇒ Tứ giác ANBC nội tiếp (O)}$

$\text{⇒ $\widehat{MNB}=\widehat{MCA}$ (góc ở ngoài và góc ở trong hai đỉnh đối nhau trong tứ giác nội tiếp)}$

$\text{Xét ΔMNB và ΔMCA có:}$

$\text{$\widehat{MNB}=\widehat{MCA}$ (cmt)}$

$\text{$\widehat{AME}$: góc chung}$

$\text{⇒ ΔMNB ~ ΔMCA (g.g)}$

$\text{⇒ $\frac{MN}{MC}=\frac{MB}{MA}$ (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)}$

$\text{⇒ MN.MA=MB.MC (2)}$

$\text{Từ (1) và (2) ⇒ MN.MA=ME.MF ⇒ $\frac{MN}{MF}=\frac{ME}{MA}$}$

$\text{Xét ΔMNE và ΔMFA có:}$

$\text{$\frac{MN}{MF}=\frac{ME}{MA}$ (cmt)}$

$\text{$\widehat{AME}$: góc chung}$

$\text{⇒ ΔMNE ~ ΔMFA (g.g)}$

$\text{⇒ $\widehat{MNE}=\widehat{MFA}$ (các góc tương ứng)}$

$\text{Xét tứ giác NAEF có: $\widehat{MNE}=\widehat{MFA}$ (cmt)}$

$\text{Mà hai đỉnh N và F ở vị trí đối nhau, $\widehat{MNE}$ là góc nằm ngoài ở đỉnh N, $\widehat{MFA}$ là góc nằm trong đỉnh F}$

$\text{⇒ Tứ giác NAEF nội tiếp đường tròn đường kính AH}$

$\text{⇒ Bốn điểm N, A, E, F cùng thuộc một đường tròn đường kính AH}$

$\text{Xét tứ giác AFHE có: $\widehat{HEA}+\widehat{HFA}=90°+90°=180°$}$

$\text{Mà hai góc này ở vị trí đối nhau}$

$\text{⇒ Tứ giác AFHE nội tiếp đường tròn đường kính AH}$

$\text{⇒ Bốn điểm A, F, H, E cùng thuộc một đường tròn đường kính AH}$

$\text{Mà bốn điểm N, A, E, F cùng thuộc một đường tròn đường kính AH (cmt)}$

$\text{⇒ N, A, H, E, F cùng thuộc đường tròn đường đường kính AH}$

$\text{⇒ Tứ giác ANHE nội tiếp đường tròn đường kính AH}$

$\text{⇒ $\widehat{ANH}+\widehat{AEH}=180°$ (hai góc đối nhau trong tứ giác nội tiếp)}$

$\text{⇒ $\widehat{ANH}=180°-\widehat{AEH}=180°-90°=90°$}$

$\text{⇒ NH ⊥ AM}$

$\text{Xét (O), đường kính AK có: N ∈ (O) (cách vẽ)}$

$\text{⇒ $\widehat{ANK}=90°$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)}$

$\text{⇒ NK ⊥ AM}$

$\text{Mà NH ⊥ AM (cmt)}$

$\text{⇒ NK ≡ NH}$

$\text{⇒ Bốn điểm N, K, H, I thẳng hàng}$

$\text{⇒ IN ⊥ AM}$

$\text{Xét ΔAIM có: }$

$\text{IN ⊥ AM (cmt)}$

$\text{AD ⊥ MI (gt)}$

$\text{IN cắt AD tại H}$

$\text{⇒ H là trực tâm của ΔAIM}$

$\text{⇒ MH ⊥ AI}$