Giải thích các bước giải:
Ta sẽ dựng `ΔABC` cân tại đỉnh `A` có `hat{A}=36^o`
Vẽ phân giác `BD` , từ `D` kẻ `DEbotAB`
Dễ dàng tính được `hat{ABC}=hat{ACB}=(180^o -36^o)/2=72^o`
Do `BD` là tia phân giác của `hat{ABC}` nên `hat{ABD}=hat{DBC}=72^o/2=36^o`
Trong `ΔBDC`:`hat{BDC}=180^o - hat{DBC}-hat{BCD}=180^o - 36^o - 72^o=72^o`
`=>hat{BCD}=hat{BDC}=72^o`
`=>BD=BC`
Lại có:`hat{BAC}=hat{ABD}=36^o`
`=>ΔABD` cân tại `D` `=>AD=BD`
Hay `AD=BD=BC`
Do `ΔADB` cân tại `D` có `DEbotAB` `=>DE` đồng thời là đường trung tuyến
`=>AE=EB`
Đặt `AE=EB=x`
`=>AB=AC=2x`
Giả sử `BC=1(cm)`
`=>BC=BD=AD=1cm`
`=>DC=AC-1=2x-1(cm)`
`BD` là đường phân giác của `ΔABC` nên theo tính chất đường phân giác:
`(DC)/(BC)=(AD)/(AB)`
`<=>(2x-1)/1=(1)/(2x)`
`<=>4x^2-2x-1=0`
`<=>[(x=(sqrt{5}+1)/4),(x=(1-sqrt{5})/4(L)):}`
`cos 36^o = (AE)/(AD)=((sqrt{5}+1)/4)/1=(sqrt{5}+1)/4`
Ta có:
`cos 2\alpha=cos^2 \alpha-sin^2 \alpha`
`<=>cos 2\alpha=cos^2 \alpha+sin^2\alpha-2sin^2 \alpha`
`<=>cos 2\alpha=1-2sin^2 \alpha`
Áp dụng vào bài toán ta có:
`cos 36^o=1-2sin^2 18^o`
`<=>(sqrt{5}+1)/4=1-2sin^2 18^o`
`<=>2sin^2 18^o=(3-sqrt{5})/4`
`<=>sin^2 18^o=(3-sqrt{5})/8`
`<=>sin 18^o=sqrt{3-sqrt{5}}/(2sqrt{2})=sqrt{6-2sqrt{5}}/4=(sqrt{5}-1)/4`
Như vậy:`cos 36^o - sin 18^o=(sqrt{5}+1)/4-(sqrt{5}-1)/4=2/4=1/2(text{đpcm})`
