`a)` ` F` là điểm chính giữa cung $AB$ (gt)
`=>\stackrel\frown{FA}=\stackrel\frown{FB}`
`=>FA=FB` (liên hệ giữa dây và cung)
$\\$
`\qquad E` là điểm chính giữa cung $AC$ (gt)
`=>\stackrel\frown{EA}=\stackrel\frown{EC}`
Ta có:
`\qquad \hat{FBS}=1/ 2sđ\stackrel\frown{FE}` (góc nội tiếp chắn cung $FE$)
`\qquad \hat{FSB}=1/ 2 (sđ\stackrel\frown{FB}+sđ\stackrel\frown{EC})`
`\qquad ` (góc có đỉnh bên trong đường tròn)
`=1/ 2 (sđ\stackrel\frown{FA}+sđ\stackrel\frown{EA})=1/ 2 sđ\stackrel\frown{FE}`
`=>\hat{FBS}=\hat{FSB}`
`=>∆BFS` cân tại $F$
$\\$
`b)` Vì $D$ đối xứng với $S$ qua $F$
`=>F` là trung điểm $DS$
`=>FS=1/ 2 DS`
$\\$
$\quad ∆BFS$ cân tại $F$ (câu a)
`=>FB=FS`
Mà $FA=FB$ (câu a)
`=>FB=FA=FS=1/ 2 DS`
$\\$
Xét $∆ADS$ có:
+) $AF$ là trung tuyến (do $F$ là trung điểm $DS$)
+) `AF=1/ 2 DS` (c/m trên)
`=>∆ADS` vuông tại $A$ (đường trung tuyến ứng với 1 cạnh bằng một nửa cạnh đó thì ∆ vuông)
`=>\hat{DAS}=90°`
$\\$
Xét $∆BDS$ có:
+) $BF$ là trung tuyến (do $F$ là trung điểm $DS$)
+) `BF=1/ 2 DS` (c/m trên)
`=>∆BDS` vuông tại $B$
`=>\hat{DBS}=90°`
$\\$
`=>\hat{DAS}+\hat{DBS}=90°+90°=180°`
Mà `\hat{DAS};\hat{DBS}` ở vị trí đối nhau
`=>DASB` nội tiếp
$\\$
`c)` $DASB$ nội tiếp (câu b)
`=>\hat{SDA}=\hat{SBA}` (cùng chắn cung $SA$)
Mà `\hat{SBA}=\hat{MNA}` (cùng chắn cung $AE$ của $(O)$)
`=>\hat{SDA}=\hat{MNA}`
`=>\hat{MDA}=\hat{MNA}`
`=>` Tứ giác $AMND$ có hai đỉnh kề nhau $D;N$ cùng nhìn cạnh $MA$ dưới hai góc bằng nhau
`=>AMND` nội tiếp
