Đáp án + Giải thích các bước giải:
`x^2-2(m-1)x+2m-5=0`
`Delta=[-2(m-1)]^2-4.1.(2m-5)`
`=4(m^2-2m+1)-8m+20`
`=4m^2-8m+4-8m+20`
`=4m^2-16m+24`
Để phương trình có 2 nghiệm thì: `Delta\geq0`
`<=>4m^2-16m+24\geq0`
`<=>m^2-4m+6\geq0`
`<=>m^2-4m+4+2\geq0`
`<=>(m-2)^2+2\geq2>0∀m∈RR`
`->` Phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt `x_1;x_2`
`+)` Theo đề bài ta có: `x^2-2(m-1)x+2m-5=0`
`<=>x^2-2mx-2x+2m-5=0`
`<=>x^2-2mx+2x+2m-3-2=0`
`<=>x^2-2mx+2m=2-2x`
+) Vì `x_1;x_2` là các nghiệm của phương trình nên ta có:
$\begin{cases}x_1^2-2mx_1+2m-3=2-2x_1\\x_2^2-2mx_2+2m-3=2-x_2\end{cases}$
Thế vào `(x_1^2-2mx_1-x_2+2m-3)(x_2^2-2mx_2-x_1+2m-3)=19`
`=>(2-2x_1-x_2)(2-2x_2-x_1)=19`
`<=>4-4x_2-2x_1-4x_1+4x_1x_2+2x_1^2-2x_2+2x_1^2+x_1x_2=19`
`<=>2(x_1+x_2)^2-6(x_1+x_2)+x_1x_2=15` `(2)`
+) Áp dụng hệ thức Vi - ét ta có: $\begin{cases}x_1+x_2=2m-2\\x_1x_2=2m-5\end{cases}$
`(2)=>2(2m-2)^2-6(2m-2)+2m-5=15`
`<=>8m^2-26m=0`
`<=>4m^2-13m=0`
`<=>m(4m-13)=0`
`<=>` \(\left[ \begin{array}{l}m=0\\4m-13=0\end{array} \right.\) `<=>`\(\left[ \begin{array}{l}m=0\\m=\dfrac{13}{4}\end{array} \right.\)
Vậy khi `m=0;m=13/4` thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt `x_1;x_2` thoả mãn `(x_1^2-2mx_1-x_2+2m-3)(x_2^2-2mx_2-x_1+2m-3)=19`
