Giải thích các bước giải:

Bài 33:

a.Xét $\Delta ABD,\Delta MAD$ có:

$\widehat{BAD}=\widehat{MAD}$

Chung $DA$

$\widehat{ABD}=\widehat{AMD}(=90^o)$

$\to\Delta ABD=\Delta AMD$(cạnh huyền-góc nhọn)

b.Từ câu a $\to AB=AM, DB=DM$

$\to A, D\in$ trung trực $BM$

$\to AD$ là trung trực $BM$

c.Xét $\Delta DBN,\Delta DCM$ có:

$\widehat{BDN}=\widehat{MDC}$

$DB=DM$

$\widehat{DBN}=\widehat{DMC}(=90^o)$

$\to\Delta DBN=\Delta DMC(g.c.g)$

$\to BN=CM$

$\to AN=AB+BN=AM+MC=AC$

$\to\Delta ACN$ cân tại $A$

Mà $\hat A=60^o\to\Delta ACN$ đều

d.Ta có $AD$ là trung trực $BM\to AD\perp BM=I$

$\to BI<BD$

Mà $DB\perp BN\to BD<DN$

$\to BI<DN$

Bài 34:

a.Xét $\Delta MAH,\Delta MBN$ có:

$MH=MB$

$\widehat{AMH}=\widehat{BMN}$

$MA=MN$

$\to\Delta MAH=\Delta MNB(c.g.c)$

$\to \widehat{MBN}=\widehat{MHA}=90^o\to NB\perp BC$

b.Xét $\Delta AMB,\Delta HNM$ có:

$MA=MN$

$\widehat{AMB}=\widehat{NMH}$

$MB=MH$

$\to\Delta AMB=\Delta NMH(c.g.c)$

$\to AH=BN$

Vì $AH\perp BC\to AH<AB$

$\to NB<AB$

c.Từ câu b $\to \widehat{HNM}=\widehat{MAB}$

Mà $AB=NH, AH<AB\to AH<NH$

$\to \widehat{BAH}>\widehat{ANH}$

$\to \widehat{MAH}>\widehat{MNH}$

$\to \widehat{MAH}>\widehat{BAM}$

d.Ta có $\Delta ABC$ cân tại $A, AH\perp BC\to HB=HC$

Mà $M$ là trung điểm $BH\to MH=\dfrac12HB=\dfrac12HC$

Lại có $M$ là trung điểm $AN$

$\to H$ là trọng tâm $\Delta ANC$

Do $I$ là trung điểm $CN\to A, H, I$ thẳng hàng

Bài 35:

a.Ta có  $AH\perp EF, EF//BM\to BM\perp AH$

Mà $AH$ là phân giác $\hat A\to \Delta ABM$ cân tại $A$

b.Tương tự câu a chứng minh được $\Delta AEF$ cân tại $a\to AE=AF$

Mà $AB=AM\to BE=AE-AB=AF-AM=MF$

Kẻ $MG//AC$

$\to \widehat{BGE}=\widehat{AFE}=\widehat{AEF}=\widehat{BEG}\to\Delta BEG$ cân tại $B$

$\to BE=BG$

Xét $\Delta DBG, \Delta DFC$ có:

$\widehat{BDG}=\widehat{FDC}$

$DB=DC$

$\widehat{DBG}=\widehat{DCF}$

$\to\Delta DBG=\Delta DCF(g.c.g)$

$\to BG=CF$

$\to BE=CF=MF$

c.Ta có $ID\perp BC=D$ là trung điểm $BC\to ID$ là trung trực $BC\to IB=IC$

Vì $\Delta AEF$ cân tại $A, AH$ là phân giác $\hat A\to AH$ là trung trực $EF$

Do $I\in AH\to IE=IF$

Xét $\Delta IBE,\Delta ICF$ có:

$IE=IF, BE=CF, IB=IC$

$\to \Delta IBE=\Delta ICF(c.c.c)$

$\to \widehat{IEB}=\widehat{IFC}$

Xét $\Delta IAE,\Delta IAF$ có:

Chung $AI$

$AE=AF$

$IE=IF$

$\to\Delta AIE=\Delta AIF(c.c.c)$

$\to\widehat{AEI}=\widehat{AFI}$

$\to\widehat{AFI}=\widehat{BEI}=\widehat{IFC}$

Mà $\widehat{AFI}+\widehat{IFC}=180^o$

$\to \widehat{AFI}=\widehat{IFC}=90^o$

$\to IF\perp AC$