Đáp án:
Ta có :
$a^{3}$ + $b^{3}$ + $c^{3}$ - 3$a^{}$$b^{}$$c^{}$
= ( $a^{3}$ + $b^{3}$ + 3$a^{2}$$b^{}$ + 3$a^{}$$b^{2}$)+ $c^{3}$ - ( 3$a^{}$$b^{}$$c^{}$ + 3$a^{2}$$b^{}$ + 3$a^{}$$b^{2}$)
= $(a+b)^{3}$ + $c^{3}$ - 3$a^{}$$b^{}$.( $a^{}$+$b^{}$+$c^{}$ )
= ( $a^{}$+$b^{}$+$c^{}$ ).[ $( a + b )^{2}$ - ( $a^{}$+$b^{}$).c + $c^{2}$] - 3$a^{}$$b^{}$.( $a^{}$+$b^{}$+$c^{}$ )
= ( $a^{}$+$b^{}$+$c^{}$ ).( $a^{2}$+$b^{2}$+$c^{2}$ + 2$a^{}$$b^{}$ - $a^{}$$c^{}$ - $b^{}$$c^{}$ - 3$a^{}$$b^{}$)
= ( $a^{}$+$b^{}$+$c^{}$ ).( $a^{2}$+$b^{2}$+$c^{2}$ - $a^{}$$b^{}$ - $a^{}$$c^{}$ - $b^{}$$c^{}$)
Đặt A = $\frac{a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3a^{}b^{}c^{} }{a^{}+b^{}+c^{}}$
⇔ A =$\frac{( a^{}+b^{}+c^{} ).( a^{2}+b^{2}+c^{2} - a^{}b^{} - a^{}c^{} - b^{}c^{})}{a^{}+b^{}+c^{}}$
⇔ A = $a^{2}$+$b^{2}$+$c^{2}$ - $a^{}$$b^{}$ - $a^{}$$c^{}$ - $b^{}$$c^{}$
⇔ 2A = 2$a^{2}$+2$b^{2}$+2$c^{2}$ - 2$a^{}$$b^{}$ - 2$a^{}$$c^{}$ - 2$b^{}$$c^{}$
⇔ 2A = $( a - b )^{2}$ + $( b - c )^{2}$ + $( c - a )^{2}$
Vì $( a - b )^{2}$ , $( b - c )^{2}$ , $( c - a )^{2}$ $\geq$ 0 ; ∀ $a^{}$ , $b^{}$ , $c^{}$ $\neq$ 0
⇔ 2A = $( a - b )^{2}$ + $( b - c )^{2}$ + $( c - a )^{2}$ $\geq$ 0 ; ∀ $a^{}$ , $b^{}$ , $c^{}$ $\neq$ 0
⇔ 2A $\geq$ 0 ; ∀ $a^{}$ , $b^{}$ , $c^{}$ $\neq$ 0
⇔ A $\geq$ 0 ; ∀ $a^{}$ , $b^{}$ , $c^{}$ $\neq$ 0
⇔ $\frac{a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3a^{}b^{}c^{} }{a^{}+b^{}+c^{}}$ $\geq$ 0 ; ∀ $a^{}$ , $b^{}$ , $c^{}$ $\neq$ 0 ( đpcm )
Vậy $\frac{a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3a^{}b^{}c^{} }{a^{}+b^{}+c^{}}$ $\geq$ 0 ; ∀ $a^{}$ , $b^{}$ , $c^{}$ $\neq$ 0
