Đáp án:
$GTNN$ của $P = 3 ⇔ a = \dfrac{\sqrt{2}}{2}; b = \sqrt{2}$
Giải thích các bước giải:
$ 2\sqrt{2} ≥ \dfrac{ab + 1}{b - a} ≥ \dfrac{2\sqrt{ab}}{b - a}(1)$
$ ⇔ 8 ≥ \dfrac{4ab}{(b - a)²} ⇔ 2(a² + b² - 2ab) ≥ ab $
$ ⇔ 2b² - 5ab + 2a² ≥ 0 ⇒ (b - 2a)(2b - a) ≥ 0 $
$ ⇔ b - 2a ≥ 0 ⇔ b ≥ 2a (2)$
Xét $: P = \dfrac{(a² + 1)(b² + 1)}{a² + ab}$
$ = \dfrac{(a² + b²) + (1 + a²b²)}{a² + ab} ≥ \dfrac{a² + b² + 2ab}{a² + ab} (3)$
$ =\dfrac{(a + b)²}{a(a + b)} = \dfrac{a + b}{a} ≥ \dfrac{a + 2a}{a} = 3 (4)$
Vậy $GTNN$ của $P = 3$ khi đồng thời xảy ra dấu $'='$ở
$(1); (2); (3);(4) ⇔ ab = 1; b = 2a ⇔ a = \dfrac{\sqrt{2}}{2}; b = \sqrt{2}$
