Đáp án:
`4/5` hoặc `5/4`
Giải thích các bước giải:
Giả sử $∆ABC$ vuông tại $A$ có:
+) Đường cao $AH=h$
+) Cạnh huyền $BC=a$
+) Hai cạnh góc vuông: $AB=c;AC=b$
+) Trung tuyến `AM=1/ 2 BC=a/2`
`\qquad (a;b;c;h>0; b<a; c<a)`
Vì tỉ số của đường cao $AH$ và trung tuyến $AM$ là `{40}/{41}` nên:
$\quad \dfrac{h}{\dfrac{a}{2}}$`={40}/{41}`
`=>h={20}/{41}a`
Ta có:
$\begin{cases}ah=bc\ (hệ\ thức\ lượng)\\b^2+c^2=a^2\ (định\ lý\ Pytago)\end{cases}$
`<=>`$\begin{cases}\dfrac{20}{41}a^2=bc\\a^2=b^2+c^2\end{cases}$
`=>(b^2+c^2).{20}/{41}=bc`
`<=>20b^2+20c^2=41bc`
`<=>20. (b/c)^2+20=41 . b/c` (chia hai vế cho `c^2)`
`<=>20. (b/c)^2-41. b/c+20=0` (*) `(b/c>0 \ do\ b,c>0)`
`∆=(-41)^2-4.20.20=81>0`
`=>\sqrt{∆}=9`
Vì `∆>0=>` Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt:
`x_1={-b+\sqrt{∆}}/{2a}={41+9}/{2.20}=5/4\ (thỏa\ mãn)`
`x_2={-b-\sqrt{∆}}/{2a}={41-9}/{2.20}=4/ 5\ (thỏa\ mãn)`
Vậy tỉ số độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác đã cho là `4/5` hoặc `5/4`
