Đáp án:
$C.\ 6\sqrt{2 + \sqrt3}$
Giải thích các bước giải:
Gọi $M,\ M_1,\ M_2$ lần lượt là điểm biểu diễn các số phức $z,\ z_1,\ z_2$ trên mặt phẳng phức
Ta có:
$\begin{cases}|z_1| = 6\\|z_2| = 6\\|z_1 - z_2| = 6\sqrt2\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}OM_1 = 6\\OM_2 = 6\\M_1M_2 = 6\sqrt2\end{cases}$
$\Rightarrow \triangle OM_1M_2$ vuông cân tại $O$
Khi đó:
$\quad P = |z| + |z- z_1| + |z- z_2|$
$\Leftrightarrow P = MO + MM_1 + MM_2$
$P_{\min}\Leftrightarrow$ Điểm $M$ là điểm $Fermat-Torricelli$ của $\triangle OM_1M_2$
Hay điểm $M$ nằm trong $\triangle OM_1M_2$ sao cho $\widehat{OMM_1}=\widehat{OMM_2}=\widehat{M_1MM_2}= 120^\circ$
Do $\triangle OM_1M_2$ vuông cân tại $O$
nên $M$ thuộc phân giác $\widehat{M_1OM_2}$
Gọi $OH$ là phân giác $\widehat{M_1OM_2}\quad (H\in M_1M_2)$
$\Rightarrow \begin{cases}HM_1=HM_2 =\dfrac12M_1M_2 = 3\sqrt2\\\widehat{HMM_1}=\widehat{HMM_2}=\dfrac12\widehat{M_1MM_2}= 60^\circ\end{cases}$
$\Rightarrow MM_1 = MM_2 = \dfrac{3\sqrt2}{\sin60^\circ}= 2\sqrt6$
Áp dụng định lý $\cos$ ta được:
$\quad OM_1^2 = MO^2 + MM_1^2 - 2MO.MM_1\cos\widehat{OMM_1}$
$\Leftrightarrow 6^2 = MO^2 + \left(2\sqrt6\right)^2 - 2MO.2\sqrt6.\cos120^\circ$
$\Leftrightarrow MO^2 + 2MO\sqrt6 -12 = 0$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}MO = -\sqrt6 - 3\sqrt2\quad (loại)\\MO =- \sqrt6 + 3\sqrt2\quad (nhận)\end{array}\right.$
Khi đó:
$\quad P_{\min}= -\sqrt6 + 3\sqrt2 + 2.2\sqrt6$
$\Leftrightarrow P_{\min} = 3\sqrt6 + 3\sqrt2$
$\Leftrightarrow P_{\min}= 6\sqrt{2 + \sqrt3}$
