Ta có : `n^3 - n = n . n^2 - n . 1 = n . ( n^2 - 1 )`
Nếu `n ⋮ 3 ⇒ n . ( n^2 - 1 ) ⋮ 3`
Nếu `n : 3` dư `1 ⇒ n^2 : 3` dư `1 ⇒ n^2 - 1 ⋮ 3`
Nếu `n : 3` dư `2` ⇒ n^2 : 3` dư `1 ⇒ n^2 - 1 ⋮ 3`
`⇒ n^3 - n ⋮ 3` `( 1 )`
Xét `n` là số lẻ `⇒ n^2` là số lẻ `⇒ n^2 - 1` là số chẵn `⇒ n . ( n^2 - 1 )` là số chẵn .
Xét `n` là số chẵn `⇒ n . ( n^2 - 1 )` là số chẵn
`⇒ n . ( n^2 - 1 ) ⋮ 2` hay `n^3 - n ⋮ 2` ( 2 )`
Từ `( 1 )` và `( 2 )` và `ƯCLN( 2 ; 3 ) = 1`
`⇒ n^3 - n ⋮ 2 . 3 ⇔ n^3 - n ⋮ 6` ( Điều phải chứng minh )
