Giải thích các bước giải:
a) Xét ΔMPQ cân tại M có: MQ=MP;∠P=∠MQP
Mà ∠MQP=∠FQI(2 góc đối đỉnh)
⇒∠FQI=∠P
Xét ΔEKPvà ΔFIQ có:
∠EKP=∠I=90
∠FQI=∠P
PK = IQ (gt)
⇒ΔEKP=ΔFIQ (cạnh góc vuông - góc nhọn kề)
⇒EK=FI (2 cạnh tương ứng) (đpcm)
b) Gọi giao điểm của PQ và EF là G
Ta có: EK⊥PQ
FI⊥PQ
⇒⇒ EK // FI (định lí)
⇒∠GEK=∠GFI(2 góc so le trong)
Xét ΔEGKvà ΔGFI có:
EK = FI (cmt)
∠EKG=∠I
∠GEK=∠GFI (cmt)
⇒ΔEGK=ΔFGI(g.c.g)
⇒EG=FG(2 cạnh tương ứng)
⇒G là trung điểm của EF
⇒PQ đi qua trung điểm của EF (đpcm)
c) Xét ΔEGKvuông tại K và ΔFIG vuông tại I có:
EG là cạnh huyền của ΔEGKvà FG là cạnh huyền của ΔFIG
⇒EG>EK và FG>FI
⇒EG+FG>EK+FI
⇒EK+IF<EF (đpcm)