Với $n=1$:
$1^3=1^2$ (đúng)
Giả sử đẳng thức đúng với $n=k$ ($k\in\mathbb{N}$):
$1^3+2^3+3^3+...+k^3=(1+2+3+...+k)^2$
Cần chứng minh đẳng thức đúng với $n=k+1$:
$1^3+2^3+3^3+...+(k+1)^3=(1+2+3+...+k+1)^2$
Thật vậy:
$VT=1^3+2^3+3^3+...+k^3+(k+1)^3$
$=(1+2+3+...+k)^2+(k+1)^3$
$VP=(1+2+3+...+k+(k+1))^2$
$=(1+2+3+....+k)^2+2(k+1)(1+2+3+...+k)+(k+1)^2$
$=(1+2+3+...+k)^2+(k+1).[2(1+2+3+...+k)+k+1]$
$=(1+2+3+...+k)^2+(k+1).\Big[ 2.\dfrac{(k+1).k}{2}+k+1\Big]$
$=(1+2+3+...+k)^2+(k+1).[k(k+1)+k+1]$
$=(1+2+3+...+k)^2+(k+1).(k+1.)(k+1)$
$=(1+2+3+...+k)^2+(k+1)^3$
$=VT$ (đpcm)
