P=$\frac{x}{x+1}$ +$\frac{y}{y+1}$
≤ $\frac{x}{2\sqrt{x}}$ +$\frac{y}{2\sqrt{y}}$ // áp dụng bất đẳng thức cô si
suy ra 2P $\leq$ $\sqrt{x}$ +$\sqrt{y}$ (1)
đánh giá x²+y²=x+y
x+y = (x²+1)+(y²+1)-2
x+y+2 ≥ 2x +2y //áp dụng bất đẳng thức cô si
x+y≤2
(1) ⇔ 2P ≤ $\leq$ $\sqrt{x}$ +$\sqrt{y}$ ≤$\frac{x+1}{2}$ +$\frac{y+1}{2}$ = $\frac{x+y+2}{2}$
$\leq$ 2 // do x+y $\leq$ 2
vậy max P=1 dấu bằng x=y=1
