$\begin{array}{l} P = \dfrac{x}{{y + \sqrt 2 }} \Rightarrow {P^2} = \dfrac{{{x^2}}}{{{y^2} + 2\sqrt 2 y + 2}} = \dfrac{{1 - {y^2}}}{{{y^2} + 2\sqrt 2 y + 2}}\\ \Rightarrow \left( {{y^2} + 2\sqrt 2 y + 2} \right){P^2} = 1 - {y^2}\\ \Leftrightarrow {P^2}{y^2} + 2\sqrt 2 y.{P^2} + 2{P^2} = 1 - {y^2}\\ \Leftrightarrow \left( {{P^2} + 1} \right){y^2} + 2\sqrt 2 {P^2}y + 2{P^2} - 1 = 0 \end{array}$
Để tồn tại $y$ thì $\begin{array}{l} \Delta ' \ge 0 \Leftrightarrow 2{P^4} - \left( {2{P^2} - 1} \right)\left( {{P^2} + 1} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow - 2{P^4} + {P^2} + 1 \ge 0 \Leftrightarrow \left( {{P^2} - 1} \right)\left( {2{P^2} + 1} \right) \le 0\\ \Leftrightarrow {P^2} - 1 \le 0 \Leftrightarrow - 1 \le P \le 1\\ \Rightarrow P \le 1 \Rightarrow \max P = 1 \end{array}$
Thay $P$ vào phương trình trên ta được $y = \dfrac{{ - 1}}{{\sqrt 2 }}$
$\begin{array}{l} \Rightarrow y + \sqrt 2 > 0 \Rightarrow x > 0\\ \Rightarrow {x^2} = 1 - {y^2} = 1 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow x = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} \end{array}$
