Đáp án:
$\dfrac{3\pi R^2}{16}$
Giải thích các bước giải:
Ta có:
$\begin{cases}AB = 2R\\OM = R\\OI = \dfrac{R}{2}\end{cases}$
Gọi $E$ là giao điểm giữa $OK$ và $(O)$
$\Rightarrow OE = R$
Kẻ $KH\perp AB$
$\Rightarrow KH$ là bán kính của $(K)$
Đặt $KH = x$
$\Rightarrow KE = KH = x$
$\Rightarrow OK = OE - KE = R - x$
Kẻ $KD\perp OI$
$\Rightarrow ODKH$ là hình chữ nhật
$\Rightarrow \begin{cases}OD = KH = x\\KD^2 = OH^2 = OK^2 - KH^2 = (R-x)^2 - x^2\end{cases}$
$\Rightarrow ID = OI - OD = \dfrac{R}{2} - x$
Áp dụng định lý Pytago vào $\triangle DIK$ vuông tại $D$ ta được:
$\quad IK^2 = KD^2 + ID^2$
$\Leftrightarrow \left(\dfrac{R}{2} + x\right)^2 = (R - x)^2 - x^2 + \left(\dfrac{R}{2} - x\right)^2$
$\Leftrightarrow R^2 - 4Rx = 0$
$\Leftrightarrow x = \dfrac{R}{4}$
Khi đó ta được:
$+)\quad S_{(I)}= \pi OI^2 = \pi\cdot \left(\dfrac{R}{2}\right)^2 = \dfrac{\pi R^2}{4}$
$+)\quad S_{(K)}= \pi x^2 = \pi \cdot \left(\dfrac{R}{4}\right)^2 = \dfrac{\pi R^2}{16}$
Hiệu diện tích cần tìm:
$S = \dfrac{\pi R^2}{4} - \dfrac{\pi R^2}{16}=\dfrac{3\pi R^2}{16}$
