`\text{a)}`

Áp dụng định lý Py-ta-go cho `\Delta ABC` vuông tại `A` :

`-> BC^2 = AB^2 + AC^2`

`-> 5^2 = 3^2+ AC^2`

`-> AC^2 = 16`

`-> AC = 4cm`        

`\text{b)}`

  Xét `\Delta ADC` vuông tại `A` và `\Delta ABC` vuông tại `A`

`AD = AB ( \text{gt} )`

`AC` _ cạnh chung

`-> \Delta ADC = \Delta ABC ( \text{ 2 cạnh gv} )`                 

 `\text{c)}` 

Ta có :

`\Delta ADC = \Delta ABC ( \text{ cmt } )`

`-> DC = BC` ( `2` cạnh tương ứng )

`ED \text{ // }  BC`

`->  \hat{BCM} = \hat{ECM}` ( `2` góc so le trong )

Xét `\Delta BCM` và `\Delta EDM` có :

`\hat{BCM} = \hat{EDM} ( \text{ cmt } )`

`BC = DC ( \text{ cmt } )`

 `\hat{BMC} = \hat{EMD}` ( `2` góc đối đỉnh )

`-> \Delta BCM = \Delta EDM ( \text{ g .c . g } )`

 `-> BC = DE` ( `2` cạnh tương ứng ) 

`-> DC = DE` ( vì `BC = DE` và `BC = DC` )

`-> \Delta CDE` cân tại `D`

 Ta có :

`BM ∩ DC = {M}`

`MD = MC`

`-> BM` là đường trung tuyến xuất phát từ `B` trong `\Delta DBC`

`-> IM = 1/3 BM`

`-> 6IM = 2BM`

`\Delta BMC = \Delta EMD ( \text{cmt} )`

`-> BM = EM`

`-> BM = 1/2BE`  

`-> 2BM = BE`

`-> 6IM = BE`   

Xét `\Delta BMD` và `\Delta CME` có :

`BM = EM ( \text{cmt} )`

`\hat{BMD} = \hat{CME}` ( `2` góc đối đỉnh )

`MD = MC ( \text{gt} )`

`-> \Delta BMD = \Delta CME ( \text{c .g . c} )`

`-> BD = CE ` ( `2` cạnh tương ứng )

Áp dụng BĐT `\Delta` cho `\Delta BCE`

`-> BC +EC > BE`

`-> BC + BD > BE = 6IM`

`-> BC + BD > 6IM`

Đáp án:

`a,`

Xét `ΔABC` vuông tại `A` có :

`AB^2 + AC^2 = BC^2` (Pitago)

`-> AC^2 = BC^2 - AB^2`

`-> AC^2 = 5^2 - 3^2`

`-> AC^2 = 4^2`

`-> AC = 4cm`

$\\$

$\\$

`b,`

Xét `ΔABC` và `ΔADC` có :

`AB = AD` (giả thiết)

`hat{BAC} = hat{DAC} = 90^o`

`AC` chung

`-> ΔABC = ΔADC` (cạnh - góc - cạnh)

$\\$

$\\$

`c,`

Vì `ΔABC = ΔADC` (chứng minh trên)

`-> BC = DC` (2 cạnh tương ứng)

Vì $DE//BC$

`-> hat{BCM}  =hat{EDM}` (2 góc so le trong)

Xét `ΔBMC` và `ΔEMD` có :

`hat{BMC} = hat{EMD}` (2 góc đối đỉnh)

`DM = CM` (Do `M` là trung điểm của `DC`)

`hat{BCM} = hat{EDM}` (chứng minh trên)

`-> ΔBMC = ΔEMD` (góc - cạnh - góc)

`-> BC =  DE` (2 cạnh tương ứng)

mà `BC = DC` (chứng minh trên)

`-> DE = DC (= BC)`

`-> ΔCDE` cân tại `D`

$\\$

$\\$

$d,$

Xét `ΔBCD` có :

`CA` là đường trung tuyến (Do `A` là trung điểm của `BC`)

`BM` là đường trung tuyến (Do `M` là trung điểm của `DC`)

`CA` cắt `BM` tại `I`

`-> I` là trọng tâm của `ΔBCD`

`-> IM = 1/3 BM`

Vì `ΔBMC = ΔEMD` (chứng minh trên)

`-> BM = EM` (2 cạnh tương ứng)

hay `M` là trung điểm của `BE`

`-> BM = 1/2 BE`

mà `IM = 1/3 BM`

`-> IM = 1/3 . 1/2 BE`

`-> IM = 1/6BE`

`-> BE = 6IM`

Xét `ΔBMD` và `ΔEMC` có :

`hat{BMD} = hat{EMC}` (2 góc đối đỉnh)

`DM = CM` (Do `M` là trung điểm của `DC`)

`BM = EM` (chứng minh trên)

`-> ΔBMD = ΔEMC` (cạnh - góc - cạnh)

`-> BD = CE` (2 cạnh tương ứng)

$\\$

Áp dụng BĐT `Δ` cho `ΔBCE` có :

`BC + CE > BE`

mà `BE = 6IM`

`-> BC + CE > 6CM`

mà `CE = BD`

`-> BC + BD > 6IM`