Đáp án :
`c,`
Xét `ΔABC` và `ΔADC` có :
`AB = AD` (giả thiết)
`hat{BAC} = hat{DAC} = 90^o`
`AC` chung
`-> ΔABC = ΔADC` (cạnh - góc - cạnh)
`-> BC = DC` (2 cạnh tương ứng)
$\\$
Vì $DE//BC$
`-> hat{BCM} =hat{EDM}` (2 góc so le trong)
Xét `ΔBMC` và `ΔEMD` có :
`hat{BMC} = hat{EMD}` (2 góc đối đỉnh)
`DM = CM` (Do `M` là trung điểm của `DC`)
`hat{BCM} = hat{EDM}` (chứng minh trên)
`-> ΔBMC = ΔEMD` (góc - cạnh - góc)
`-> BC = DE` (2 cạnh tương ứng)
mà `BC = DC` (chứng minh trên)
`-> DE = DC (= BC)`
`-> ΔCDE` cân tại `D`
$\\$
$\\$
$d,$
Xét `ΔBCD` có :
`CA` là đường trung tuyến (Do `A` là trung điểm của `BC`)
`BM` là đường trung tuyến (Do `M` là trung điểm của `DC`)
`CA` cắt `BM` tại `I`
`-> I` là trọng tâm của `ΔBCD`
`-> IM = 1/3 BM`
Vì `ΔBMC = ΔEMD` (chứng minh trên)
`-> BM = EM` (2 cạnh tương ứng)
hay `M` là trung điểm của `BE`
`-> BM = 1/2 BE`
mà `IM = 1/3 BM`
`-> IM = 1/3 . 1/2 BE`
`-> IM = 1/6BE`
`-> BE = 6IM`
Xét `ΔBMD` và `ΔEMC` có :
`hat{BMD} = hat{EMC}` (2 góc đối đỉnh)
`DM = CM` (Do `M` là trung điểm của `DC`)
`BM = EM` (chứng minh trên)
`-> ΔBMD = ΔEMC` (cạnh - góc - cạnh)
`-> BD = CE` (2 cạnh tương ứng)
$\\$
Áp dụng BĐT `Δ` cho `ΔBCE` có :
`BC + CE > BE`
mà `BE = 6IM`
`-> BC + CE > 6CM`
mà `CE = BD`
`-> BC + BD > 6IM`
