Đáp án:$ 0 ≤ m ≤ \dfrac{3 + \sqrt{5}}{2} $
Giải thích các bước giải:
Hệ BPT $ \left[ \begin{array}{l}x² - 2x + 1 - m ≤ 0\\x² - (2m + 1)x + m² + m ≤ 0\end{array} \right.$
$ ⇔ \left[ \begin{array}{l}(x - 1)² ≤ m ( m ≥ 0) \\4x² - 4(2m + 1)x + 4m² + 4m ≤ 0\end{array} \right.$
$ ⇔ \left[ \begin{array}{l}|x - 1| ≤ \sqrt{m} ( m ≥ 0) \\4x² - 4(2m + 1)x + (2m + 1)² ≤ 1\end{array} \right.$
$ ⇔ \left[ \begin{array}{l}- \sqrt{m} ≤ x - 1 ≤ \sqrt{m}( m ≥ 0) \\ - 1 ≤ 2x - (2m + 1) ≤ 1\end{array} \right.$
$ ⇔ \left[ \begin{array}{l}1 - \sqrt{m} ≤ x ≤ \sqrt{m} + 1( m ≥ 0) (1)\\ m ≤ x ≤ m + 1(2)\end{array} \right.$
Vì $ ∀m ≥ 0 ⇒ 1 - \sqrt{m} < m + 1 $
Nên từ $(1); (2) ⇒ $ để hệ vô nghiệm thì:
$[1 - \sqrt{m}; \sqrt{m} + 1]∩[m; m + 1] = ∅$
$ ⇔ \sqrt{m} + 1 < m ⇔ (\sqrt{m})² - \sqrt{m} - 1> 0$
$ ⇒ \sqrt{m} > \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2} ⇔ m > \dfrac{3 + \sqrt{5}}{2} $
Vậy hệ có nghiệm khi $: 0 ≤ m ≤ \dfrac{3 + \sqrt{5}}{2} $
