a, BM ⊥ AC (gt) ⇒ $\widehat{BMC}=\widehat{BMA}=90°$ Hay $\widehat{HMA}=90°$
CN ⊥ AB (gt) ⇒ $\widehat{BNC}=\widehat{ANC}=90°$ Hay $\widehat{HNA}=90°$
Xét tứ giác BNMC có: $\widehat{BNC}=\widehat{BMC}=90°$
Tứ giác có hai đỉnh N và M cùng nhìn BC dưới một góc vuông
⇒ Tứ giác BNMC nội tiếp đường tròn đường kính BC
b, Tứ giác BNMC nội tiếp đường tròn đường kính BC (cmt)
⇒ $\widehat{NBM}=\widehat{NCM}$ (góc nội tiếp chắn $\overparen{NM}$)
Hay $\widehat{ABE}=\widehat{HCM}$
Xét (O) có: $\widehat{ABE}=\widehat{ACE}$ (góc nội tiếp chắn $\overparen{AE}$)
⇒ $\widehat{HCM}=\widehat{ACE}$ Hay $\widehat{HCM}=\widehat{MCE}$
⇒ CM là phân giác $\widehat{HCE}$
Xét ΔCHE có:
CM là phân giác $\widehat{HCE}$ (cmt)
CM là đường cao (BM ⊥ AC)
⇒ ΔCHE cân tại C
Mà CM là đường cao (cmt)
⇒ CM là trung tuyến ⇒ M là trung điểm của HE
Xét (O), đường kính AD có: C ∈ (O) (gt)
⇒ $\widehat{ACD}=90°$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
⇒ CD ⊥ AC
Mà BE ⊥ AC (BM ⊥ AC)
⇒ CD // BE (từ vuông góc đến song song)
Xét tứ giác BECD có: CD // BE (cmt)
⇒ BECD là hình thang
Xét (O) có: B, E, C, D ∈ (O)
⇒ BECD nội tiếp (O)
Mà BECD là hình thang (cmt)
⇒ BECD là hình thang cân
c, Xét (O), đường kính AD có: B ∈ (O) (gt)
⇒ $\widehat{ABD}=90°$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
⇒ BD ⊥ AB
Mà CN ⊥ AB (gt)
⇒ BD // CN (từ vuông góc đến song song)
⇒ $\widehat{EHC}=\widehat{EBD}$ (hai góc ở vị trí đồng vị)
Hay $\widehat{EHK}=\widehat{EBD}$
Xét (O) có: $\widehat{EAD}=\widehat{EBD}$ (góc nội tiếp chắn $\overparen{ED}$)
⇒ $\widehat{EHK}=\widehat{EAD}$ Hay $\widehat{EHK}=\widehat{EAK}$
Xét tứ giác AEKH có: $\widehat{EHK}=\widehat{EAK}=α$ (cmt)
Tứ giác có hai đỉnh H và K cùng nhìn EK dưới hai góc α bằng nhau
⇒ Tứ giác AEKH nội tiếp
⇒ $\widehat{AKE}=\widehat{AHE}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn $\overparen{AE}$)
Hay $\widehat{AKE}=\widehat{AHM}$
Xét tứ giác AMHN có: $\widehat{HMA}+\widehat{HNA}=90°+90°=180°$
Mà hai góc này ở vị trí đối nhau
⇒ Tứ giác ANHM nội tiếp đường tròn đường kính AH
⇒ $\widehat{ANM}=\widehat{AHM}$ (hai góc nội tiếp chắn $\widehat{AM}$)
Mà $\widehat{AKE}=\widehat{AHM}$ (cmt)
⇒ $\widehat{AKE}=\widehat{ANM}$
Tứ giác BNMC nội tiếp đường tròn đường kính BC (cmt)
⇒ $\widehat{MCB}+\widehat{MNB}=180°$ (tổng hai góc đối trong tứ giác nội tiếp)
Mà $\widehat{ANM}+\widehat{MNB}=180°$ (hai góc kề bù)
⇒ $\widehat{ANM}=\widehat{MCB}$
Mà $\widehat{AKE}=\widehat{ANM}$ (cmt)
⇒ $\widehat{AKE}=\widehat{MCB}$ Hay $\widehat{AKE}=\widehat{ACB}$
BECD là hình thang cân (cmt) ⇒ BD = EC ⇒ $\overparen{BD}=\overparen{EC}$
Xét (O) có:
$\widehat{BAD}=\frac{1}{2}sđ\overparen{BD}$ (góc nội tiếp chắn $\overparen{BD}$)
$\widehat{EAC}=\frac{1}{2}sđ\overparen{EC}$ (góc nội tiếp chắn $\overparen{EC}$)
$\overparen{BD}=\overparen{EC}$ (cmt)
⇒ $\widehat{BAD}=\widehat{EAC}$
$\widehat{EAK}=\widehat{EAC}+\widehat{CAK}$
$\widehat{BAC}=\widehat{BAD}+\widehat{DAC}$
⇒ $\widehat{EAK}=\widehat{BAC}$
Xét ΔABC và ΔAEK có:
$\widehat{BAC}=\widehat{EAK}$ (cmt)
$\widehat{ACB}=\widehat{AKE}$ (cmt)
⇒ ΔABC ~ ΔAEK (g.g)
