Đáp án:
$y = \dfrac{xe^x + C_1}{x+1}$
Giải thích các bước giải:
$\quad y' + \dfrac{y}{x+1} = e^x\qquad (*)$
Nghiệm của phương trình thuần nhất tương ứng có dạng:
$\quad y = C.e^{\displaystyle\int-\dfrac{1}{x+1}dx}$
$\Leftrightarrow y = C.e^{-\ln(x+1)}$
$\Leftrightarrow y = \dfrac{C}{x+1}$
Do đó nghiệm tổng quát của $(*)$ có dạng:
$\quad y = \dfrac{C(x)}{x+1}$
$\Rightarrow y' = \dfrac{C'(x)}{x+1} - \dfrac{C(x)}{(x+1)^2}$
Thay vào $(*)$ ta được:
$\quad \dfrac{C'(x)}{x+1} - \dfrac{C(x)}{(x+1)^2} + \dfrac{1}{x+1}\cdot \dfrac{C(x)}{x+1} = e^x$
$\Leftrightarrow C'(x)= e^x(x+1)$
$\Leftrightarrow C(x)= xe^x + C_1$
Vậy phương trình có nghiệm tổng quát là: $y = \dfrac{xe^x + C_1}{x+1}$
