\(\begin{array}{l}
\quad f(x,y) = \dfrac{2x^2 + y^2}{3xy}\\
a)\quad \text{Ta có:}\\
+)\quad \dfrac{\partial f}{\partial x} = \dfrac{2x^2 - y^2}{3x^2y}\\
+)\quad \dfrac{\partial f}{\partial y} = \dfrac{-2x^2 + y^2}{3xy^2}\\
\Rightarrow df = \dfrac{\partial f}{\partial x}dx + \dfrac{\partial f}{\partial y}dy\\
\Rightarrow df = \dfrac{2x^2 - y^2}{3x^2y}dx + \dfrac{-2x^2 + y^2}{3xy^2}dy\\
\text{Tại $(1;1)$ ta được:}\\
\quad df = \dfrac{1}{3}dx - \dfrac{1}{3}dy\\
b)\quad \text{Ta có:}\\
+)\quad \dfrac{\partial^2f}{\partial x^2} = \dfrac{2y}{3x^3}\\
+)\quad \dfrac{\partial^2f}{\partial x\partial y} = \dfrac{\partial^2f}{\partial y\partial x} = - \dfrac{2x^2 + y^2}{3x^2y^2}\\
+)\quad \dfrac{\partial^2f}{\partial y^2} = \dfrac{4x}{3y^2}\\
\text{Tại $(1;1)$ ta được:}\\
+)\quad \dfrac{\partial^2f}{\partial x^2} = \dfrac23\\
+)\quad \dfrac{\partial^2f}{\partial x\partial y} = \dfrac{\partial^2f}{\partial y\partial x} = -1\\
+)\quad \dfrac{\partial^2f}{\partial y^2} = \dfrac43\\
c)\quad \lim\limits_{(x,y)\to (0;0)}f(x,y)\\
= \lim\limits_{(x,y)\to (0;0)}\dfrac{2x^2 + y^2}{3xy}\\
\text{Đặt $y = kx$ ta được:}\\
\quad \lim\limits_{(x,y)\to (0;0)}f(x,y)\\
= \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{2x^2 + k^2x^2}{3kx^2}\\
= \dfrac{2 + k^2}{3k}\\
\Rightarrow \text{Giới hạn phụ thuộc vào giá trị của $k$}\\
\text{ Mỗi giá trị $k$ khác nhau cho các giới hạn khác nhau}\\
\text{ Do đó giới hạn đã cho không tồn tại}
\end{array}\)
