Đáp án:
Kẻ `FM⊥BC (M ∈ BC), BN⊥EF (N ∈ EF)`
$\\$
$\\$
Do $EF//BC$ (giả thiết)
hay $NF//BC$
`-> hat{NFB} = hat{MBF}` (2 góc so le trong)
Xét `ΔNFB` và `ΔMBF` có :
`hat{BNF} = hat{FMB} = 90^o`
`BF` chung
`hat{NFB} = hat{MBF}` (chứng minh trên)
`-> ΔNFB = ΔMBF` (cạnh huyền - góc nhọn)
`->BN = FM` (2 cạnh tương ứng)
$\\$
$\\$
Do $NF//BC$
`-> hat{AEF} = hat{ABC}` (2 góc đồng vị)
mà `hat{NEB} = hat{AEF}` (2 góc đối đỉnh)
`-> hat{ABC} = hat{NEB}`
Lại có : `hat{ABC} = hat{FCM}` (Do `ΔABC` cân tại `A`)
`-> hat{NEB} = hat{FCM}`
Do `ΔBNE` vuông và `ΔFMC` vuông nên ta có :
\(\left\{ \begin{array}{l}\widehat{NBE}+\widehat{NEB}=90^o\\ \widehat{MFC}+\widehat{FCM}=90^o\end{array} \right.\)
mà `hat{NEB} = hat{FCM}`
`-> hat{NBE} = hat{MFC}`
Xét `ΔNBE` và `ΔMFC` có :
`hat{BNE} = hat{FMC} = 90^o`
`BN = FM` (chứng minh trên)
`hat{NBE} = hat{MFC}` (chứng minh trên)
`-> ΔNBE = ΔMFC` (góc - cạnh - góc)
`-> NE = MC` (2 cạnh tương ứng)
$\\$
$\\$
Có : `EF + BC`
`= EF + BM + MC`
mà `NE = MC` (chứng minh trên)
`= EF + BM + NE`
`= (EF + NE) + BM`
`= NF + BM`
Xét `ΔNBF` có :
`hat{BNF} = 90^o`
Áp dụng quan hệ giữa góc và cạnh đối diện có :
`BF` là cạnh lớn nhất
`-> BF > NF` `(1)`
Xét `Δ BMF` có :
`hat{BMF} = 90^o`
Áp dụng quan hệ giữa góc và cạnh đối diện có :
`BF` là cạnh lớn nhất
`-> BF > BM` `(2)`
$\\$
$\\$
Đem `(1) + (2)` vế với vế ta được :
`-> BF + BF > NF + BM`
mà `EF + BC = NF + BM, BF + BF = 2 BF`
`-> 2BF > EF + BC`
`-> BC > 1/2 (EF + BC)`
