$\quad f(x,y)= \dfrac{x^2 + y^2}{(x+y)^2}$
a) Ta có:
$+)\quad \dfrac{\partial f}{\partial x} = \dfrac{2y(x-y)}{(x+y)^3}$
$+)\quad \dfrac{\partial f}{\partial y} = -\dfrac{2x(x-y)}{(x+y)^3}$
$\Rightarrow df = \dfrac{2y(x-y)}{(x+y)^3}dx - \dfrac{2x(x-y)}{(x+y)^3}dy$
Tại điểm $(1;2)$ ta được:
$\quad df = -\dfrac{4}{27}dx + \dfrac{2}{27}dy$
b) Ta có:
$+)\quad \dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2} =- \dfrac{4y(x - 2y)}{(x+y)^4}$
$+)\quad \dfrac{\partial^2f}{\partial x \partial y} = \dfrac{\partial^2f}{\partial y \partial x} = \dfrac{2(x^2 - 4xy + y^2)}{(x+y)^4}$
$+)\quad \dfrac{\partial^2f}{\partial y^2} = \dfrac{4x(2x - y)}{(x+y)^3}$
Tại điểm $(1;1)$ ta được:
$+)\quad \dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2} =\dfrac14$
$+)\quad \dfrac{\partial^2f}{\partial x \partial y} = \dfrac{\partial^2f}{\partial y \partial x} =-\dfrac14$
$+) \quad \dfrac{\partial^2f}{\partial y^2} = \dfrac14$
c) $\lim\limits_{(x,y)\to (0,0)}f(x)$
$= \lim\limits_{(x,y)\to (0,0)}\dfrac{x^2 + y^2}{(x+y)^2}$
Đặt $y = kx$ ta được:
$\quad \lim\limits_{(x,y)\to (0,0)}f(x)$
$= \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x^2 + kx^2}{(x + kx)^2}$
$= \dfrac{1 + k^2}{(1+k)^2}$
$\Rightarrow$ Giới hạn phụ thuộc vào giá trị của $k$
Mỗi giá trị $k$ khác nhau cho các giới hạn khác nhau
Do đó giới hạn đã cho không tồn tại
