Đáp án:
$B.\ 5 + \sqrt{19}$
Giải thích các bước giải:
Gọi $M_1,\ M_2$ lần lượt là điểm biểu diễn số phức $z_1;\ z_2$ trên mặt phẳng phức
$\Rightarrow \begin{cases}OM_1= 1\\OM_2 = 2\\M_1M_2=\sqrt3\end{cases}$
$\Rightarrow \triangle OM_1M_2$ vuông tại $M_1$
$\Rightarrow \tan\widehat{M_1OM_2} = \dfrac{M_1M_2}{OM_1} = \sqrt3$
$\Rightarrow \widehat{M_1OM_2} = 60^\circ$
Gọi $A,\ B$ lần lượt là điểm biểu diễn số phức $3z_1$ và $-z_2$
$\Rightarrow \begin{cases}\overrightarrow{OA} = 3\overrightarrow{OM_1}\\\overrightarrow{OB} = - \overrightarrow{OM_2}\end{cases}$
$\Rightarrow \widehat{AOB} = 120^\circ$
Khi đó:
$|3z_1 + z_2| = |3z_1 - (-z_2)| = AB$
Áp dụng định lý $\cos$ ta được:
$AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2OA.OB.\cos\widehat{AOB} = 3^2 + 2^2 - 2.3.\cos120^\circ = 19$
$\Rightarrow AB = \sqrt{19}$
Áp dụng bất đẳng thức môđun số phức, ta được:
$\quad |3z_1 + z_2 - 5i| \leqslant |3z_1 + z_2| + |-5i| = \sqrt{19} + 5$
Vậy $|3z_1 + z_2 - 5i|_{\max} = 5 + \sqrt{19}$
