`text{1)}`
`text{Ta có : AM, AN là 2 tiếp tuyền của (O) (gt)}`
⇒ $\left \{ {{AM vuông góc với OM} \atop {AN vuông góc ON}} \right.$
⇒ `\hat{AMO}`=90 độ , ∠ ANO=90 độ
⇒ `text{M thuộc đường tròn đường kính AO (1)}`
`text{N thuộc đường tròn đường kính Ao (2)}`
`text{Xét đường tròn (O) ta có :}`
`text{BC là dây cung}`
`text{OI là một phần đường kính }`
`text{ mà I là trung điểm của BC (gt)}`
⇒ OI $\bot$ BC ( quan hệ giữa đường kính và dây cung)
⇒ `\hat{AIO}`= $90^0$
⇒`text{I thuộc đường tròn đường kính AO (3)}`
Từ (1),(2),(3) ⇒ 5 điểm A,M,N,O,I thuộc đường tròn.
`text{2)}`
`text{Ta có : }` `\hat{AMB}`= `\hat{MCB}` ( góc tạo bởi tia tiếp tuyền và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung MB)
hay `\hat{AMB}`= `\hat{MCA}` ( vì B ∈ AC)
`text{Xét ΔAMB và ΔACM ta có :}`
`\hat{MAC}`- góc chung
`\hat{AMB}`= `\hat{MCA}` ( cmt)
⇒ ΔAMB $\backsim$ ΔACM ( gg)
⇒ $\frac{AM}{AC}$ = $\frac{AB}{AM}$ ( các cạnh tương ứng tỉ lệ)
⇒ `text{AM ²= AB.AC ( đpcm)}`
`text{3)}`
`text{Vì BE // AM ⇒∠ BEN= ∠AMN ( 2 góc đồng vị) (4)}`
mà 5 điểm A,M,N,O,I thuộc đường tròn.
⇒ `\hat{AMN}` = `\hat{AIN}` ( 2 góc nội tiếp cùng chắn `\hat{AN}` ) (5)
`text{Từ (4) và (5) ⇒∠BEN= ∠AIN}`
hay `\hat{BEN}` = `\hat{BIN}`
`text{Xét tứ giác BEIN ta có :}`
`\hat{BEN}` = `\hat{BIN}`
`text{mà E, I là 2 đỉnh kề nhau}`
⇒`text{Tứ giác BEIN nội tiếp }`
⇒ `\hat{BNE}` = `\hat{BIE}` ( 2 góc nội tiếp cùng chắn `\hat{BE}`)
hay `\hat{BNM}` = `\hat{BIE}` (6)
`text{Ta lại có :}`
`\hat{BNM}` = `\hat{BCM}` ( 2 góc nội tiếp cùng chắn `\hat{MB}` ) (7)
`text{Từ (6) và (7) ⇒∠ BIE = ∠BCM}`
`text{mà 2 góc này ở vị trí đồng vị ⇒ IE //MC}`
