Đáp án:

$\begin{array}{l}
1.a.{R_x} = 20\Omega \\
b.{R_x} = 4,7\Omega \\
P \to Q\\
2.{R_y} = 5,25\Omega \\
{P_{{y_{\max }}}} = 0,3W
\end{array}$

Giải thích các bước giải:

1.a. Khi ampe kế chỉ 0A thì mạch cầu này trở thành mạch cầu cân bằng thì điện trở Rx là:

$\dfrac{{{R_x}}}{{{R_1}}} = \dfrac{{{R_3}}}{{{R_2}}} \Leftrightarrow \dfrac{{{R_x}}}{{10}} = \dfrac{3}{6} \Rightarrow {R_x} = 20\Omega $

b. Xét chiều dòng điện từ P đến Q:

Điện trở tương đương của đoạn mạch là:

$\begin{array}{l}
{R_{td}} = \dfrac{{{R_x}.{R_1}}}{{{R_x} + {R_1}}} + \dfrac{{{R_2}.{R_3}}}{{{R_2} + {R_3}}} = \dfrac{{10{R_x}}}{{{R_x} + 10}} + \dfrac{{3.6}}{{3 + 6}}\\
 \Leftrightarrow {R_{td}} = \dfrac{{10{R_x}}}{{{R_x} + 10}} + 2 = \dfrac{{12{R_x} + 20}}{{{R_x} + 10}}
\end{array}$

Cường độ dòng điện qua mạch là:

${I_m} = \dfrac{U}{{{R_{td}}}} = \dfrac{{20\left( {{R_x} + 10} \right)}}{{12{R_x} + 20}}$

Cường độ dòng điện qua điện trở Rx là:
${I_x} = \dfrac{{{R_1}}}{{{R_x} + {R_1}}}.{I_m} = \dfrac{{10}}{{{R_x} + 10}}.\dfrac{{20\left( {{R_x} + 10} \right)}}{{12{R_x} + 20}} = \dfrac{{200}}{{12{R_x} + 20}}$

Cường độ dòng điện qua điện trở R3 là:

${I_3} = \dfrac{{{R_2}}}{{{R_3} + {R_2}}}.{I_m} = \dfrac{6}{{3 + 6}}.\dfrac{{20\left( {{R_x} + 10} \right)}}{{12{R_x} + 20}} = \dfrac{{40\left( {{R_x} + 10} \right)}}{{3\left( {12{R_x} + 20} \right)}}$

Điện trở Rx là:
$\begin{array}{l}
{I_A} = {I_x} - {I_3} \Leftrightarrow \dfrac{{200}}{{12{R_x} + 20}} - \dfrac{{40\left( {{R_x} + 10} \right)}}{{3\left( {12{R_x} + 20} \right)}} = 0,1\\
 \Leftrightarrow \dfrac{{600 - 40\left( {{R_x} + 10} \right)}}{{3\left( {12{R_x} + 20} \right)}} = 0,1\\
 \Leftrightarrow 200 - 40{R_x} = 0,3\left( {12{R_x} + 20} \right)\\
 \Leftrightarrow 200 - 40{R_x} = 3,6{R_x} + 6\\
 \Leftrightarrow 43,6{R_x} = 206 \Rightarrow {R_x} = 4,7\Omega 
\end{array}$

2. Cường đồ dòng điện qua điện trở R2 là:
$\begin{array}{l}
{I_y} = {I_x} - {I_3}\\
{U_x} + {U_3} = U \Leftrightarrow 3{I_x} + 3{I_3} = 20\\
 \Leftrightarrow 3{I_x} + 3{I_x} - 3{I_y} = 20\\
 \Leftrightarrow 6{I_x} - 3{I_y} = 20\\
{I_x} = \dfrac{{20 + 3{I_y}}}{6}\\
{U_1} + {U_2} = U \Leftrightarrow 10{I_1} + 6{I_2} = 20\\
{I_y} = {I_2} - {I_1} \Leftrightarrow {I_2} = {I_y} + {I_1}\\
 \Leftrightarrow 10{I_1} + 6\left( {{I_y} + {I_1}} \right) = U\\
 \Leftrightarrow 16{I_1} + 6{I_y} = 20\\
 \Leftrightarrow 8{I_1} + 3{I_y} = 10\\
 \Leftrightarrow {I_1} = \dfrac{{10 - 3{I_y}}}{8}\\
{U_x} + {U_y} = {U_1}\\
 \Leftrightarrow 3{I_x} + {R_y}{I_y} = 10{I_1}\\
 \Leftrightarrow \dfrac{{20 + 3{I_y}}}{2} + {R_y}{I_y} = \dfrac{{5\left( {10 - 3{I_y}} \right)}}{4}\\
 \Leftrightarrow 80 + 12{I_y} + 8{R_y}{I_y} = 100 - 30{I_y}\\
 \Leftrightarrow {I_y}\left( {42 + 8{R_y}} \right) = 20\\
 \Leftrightarrow {I_y} = \dfrac{{20}}{{8{R_y} + 42}}
\end{array}$

Công suất qua điện trở R2 là:

${P_y} = {I_y}^2.{R_y} = \dfrac{{{{20}^2}.{R_y}}}{{{{\left( {8{R_y} + 42} \right)}^2}}} = \dfrac{{400}}{{{{\left( {8\sqrt {{R_y}}  + \dfrac{{42}}{{\sqrt {{R_y}} }}} \right)}^2}}}$

Để công suất ấy đạt giá trị cực đại thì: 

${{{\left( {8\sqrt {{R_y}}  + \dfrac{{42}}{{\sqrt {{R_y}} }}} \right)}^2}}$ Min

Áp dụng bất đẳng thức cô si cho 2 số không âm ${8\sqrt {{R_y}} }$ và ${\dfrac{{42}}{{\sqrt {{R_y}} }}}$

ta có: 

$\begin{array}{l}
8\sqrt {{R_y}}  + \dfrac{{42}}{{\sqrt {{R_y}} }} \ge 2\sqrt {8\sqrt {{R_y}} .\dfrac{{42}}{{\sqrt {{R_y}} }}}  = 2\sqrt {8.42}  = 8\sqrt {21} \\
 \Leftrightarrow {\left( {8\sqrt {{R_y}}  + \dfrac{{42}}{{\sqrt {{R_y}} }}} \right)^2} \ge {\left( {8\sqrt {21} } \right)^2} = 1344
\end{array}$

Công suất cực đại đó là:
${P_{{y_{\max }}}} = \dfrac{{400}}{{1344}} = 0,3W$

Dấu "=" xảy ra khi:

$8\sqrt {{R_y}}  = \dfrac{{42}}{{\sqrt {{R_y}} }} \Leftrightarrow 8{R_y} = 42 \Leftrightarrow {R_y} = 5,25\Omega $