1,
Xét Δ ABC có:
AH là đường cao tương ứng với cạnh huyền BC (gt)
⇒ $AH^{2}=BH.CH$ (Hệ thức lượng trong Δ vuông)
⇔ $AH^{2}=3.12$
⇔ $AH^{2}=36$
⇔ $AH=6 (cm)$
Xét Δ ABH vuông tại H (AH ⊥ BC) có:
$AB^{2}=$ $BH^{2}+$ $AH^{2}$
⇔ $AB^{2}=$ $3^{2}+$ $6^{2}$
⇔ $AB^{2}=$ $45$
⇔ $AB=3\sqrt[]{5}$
Vậy $AB=3\sqrt[]{5} cm $
Xét Δ ACH vuông tại H (AH ⊥ BC) có:
$AC^{2}=$ $CH^{2}+$ $AH^{2}$
⇔ $AC^{2}=$ $12^{2}+$ $6^{2}$
⇔ $AB^{2}=$ $180$
⇔ $AB=6\sqrt[]{5}$
Vậy $AC=6\sqrt[]{5} cm $
2,
Xét Δ ABH vuông tại H (AH ⊥ BC) có:
HE.AB=BH.AH (Hệ thức lượng trong Δ vuông)
⇔ $HE.3\sqrt[]{5}=3.6$
⇔ $HE.3\sqrt[]{5}=18$
⇔ $HE=18:3\sqrt[]{5}$
⇔ $HE=$$\frac{6\sqrt[]{5}}{5}(1)$
Xét Δ ACH vuông tại H (AH ⊥ BC) có:
HF.AC=CH.AH (Hệ thức lượng trong Δ vuông)
⇔ $HF.6\sqrt[]{5}=6.12$
⇔ $HF.6\sqrt[]{5}=72$
⇔ $HF=72:6\sqrt[]{5}$
⇔ $HF=$$\frac{12\sqrt[]{5}}{5}(2)$
Từ (1) và (2)
⇒ HF = 2HE (đpcm)
