Đáp án + Giải thích các bước giải:
Câu 4: Ta có: $n^2(n+1)^2+(n+1)^2+n^2$
$= (n^2+1)(n+1)^2+n^2$
$= (n^2+1)(n+1)^2+n^2 = (n^2+1)(n^2+2n+1)+n^2$
$= n^4+2n^3+n^2+n^2+2n+1+n^2$
$= n^4+2n^3+3n^2+2n+1 $
$= (n^2+n+1)n^2+n(n^2+n+1)+n^2+n+1$
$= (n^2+n+1)^2$
Vì $n$ là số nguyên nên $n^2+n+1$ cũng là số nguyên
$⇒ n^2(n+1)^2+(n+1)^2+n^2$ là số chính phương (đpcm)
Câu 5: Ta có: $2018 ≡ 2 \pmod{3}$
$⇒ 2018^{2019}≡2\pmod{3}$
$⇒ VP$ chia $3$ dư $2$
Với $n=3k$ ta có:
$VT=n(n^2+2018)=3k[(3k)^2+2018] \; \vdots\; 3$
Vì $VP$ chia $3$ dư $2$
$⇒$ Không có $n$ thỏa mãn
Với $n=3k+1$ ta có:
$VT=n(n^2+2018)=(3k+1)[(3k+1)^2+2018]=(3k+1)(9k^2+6k+2019) \; \vdots\; 3$
Vì $VP$ chia $3$ dư $2$
$⇒$ Không có $n$ thỏa mãn
Với $n=3k+2$ ta có:
$VT=n(n^2+2018)=(3k+2)[(3k+2)^2+2018]=(3k+2)(9k^2+12k+2022) \; \vdots\; 3$
Vì $VP$ chia $3$ dư $2$
$⇒$ Không có $n$ thỏa mãn
Vậy không có giá trị nào của $n$ thỏa mãn
