Đáp án:
$\begin{array}{l}
2)m \in \left[ {12; + \infty } \right)\\
3)m \in \left( {\dfrac{1}{2}; + \infty } \right)\\
4)m \in \left( { - \dfrac{3}{2}; + \infty } \right)\\
5)m \in \left( { - \infty ; - 1} \right)\\
6)m \in \left( { - \infty ; - 2} \right)\\
7)m \in \left( { - \infty ;\dfrac{{ - 37}}{{10}}} \right)
\end{array}$
Giải thích các bước giải:
$\begin{array}{l}
2)y = {x^3} - 6{x^2} + mx + 3\\
\text{Ta có}\\
y' \ge 0,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\\
\Leftrightarrow 3{x^2} - 12x + m \ge 0,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\\
\Leftrightarrow m \ge - 3{x^2} + 12x,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\\
\Leftrightarrow m \ge \mathop {\max }\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} \left( { - 3{x^2} + 12x} \right)\\
\Leftrightarrow m \ge 12\\
\Leftrightarrow m \in \left[ {12; + \infty } \right)\\
\text{Vậy} m \in \left[ {12; + \infty } \right)\\
3)y = {x^3} - 3m{x^2} - m\\
\text{Ta có}\\
y' < 0,\forall x \in \left( {0;1} \right)\\
\Leftrightarrow 3{x^2} - 6mx < 0,\forall x \in \left( {0;1} \right)\\
\Leftrightarrow 3x\left( {x - 2m} \right) < 0,\forall x \in \left( {0;1} \right)\\
\Leftrightarrow x - 2m < 0,\forall x \in \left( {0;1} \right)\\
\Leftrightarrow m > \dfrac{x}{2},\forall x \in \left( {0;1} \right)\\
\Leftrightarrow m > \mathop {\max }\limits_{\left( {0;1} \right)} \dfrac{x}{2}\\
\Leftrightarrow m > \dfrac{1}{2}\\
\Leftrightarrow m \in \left( {\dfrac{1}{2}; + \infty } \right)\\
\text{Vậy} m \in \left( {\dfrac{1}{2}; + \infty } \right)\\
4)y = \dfrac{1}{3}{x^3} + \left( {m + 1} \right){x^2} + 2m\\
\text{Ta có}\\
y' < 0,\forall x \in \left( {0;1} \right)\\
\Leftrightarrow {x^2} + 2\left( {m + 1} \right)x < 0,\forall x \in \left( {0;1} \right)\\
\Leftrightarrow x\left( {x + 2\left( {m + 1} \right)} \right) < 0,\forall x \in \left( {0;1} \right)\\
\Leftrightarrow x + 2\left( {m + 1} \right) < 0,\forall x \in \left( {0;1} \right)\\
\Leftrightarrow m < \dfrac{{ - x}}{2} - 1,\forall x \in \left( {0;1} \right)\\
\Leftrightarrow m < \mathop {\min }\limits_{\left( {0;1} \right)} \left( {\dfrac{{ - x}}{2} - 1} \right)\\
\Leftrightarrow m < - \dfrac{3}{2}\\
\Leftrightarrow m \in \left( { - \dfrac{3}{2}; + \infty } \right)\\
\text{Vậy}m \in \left( { - \dfrac{3}{2}; + \infty } \right)\\
5)y = - \dfrac{1}{3}{x^3} + \left( {m + 1} \right){x^2} + 2m\\
\text{Ta có}\\
y' < 0,\forall x \in \left( {0;1} \right)\\
\Leftrightarrow - {x^2} + 2x\left( {m + 1} \right) < 0,\forall x \in \left( {0;1} \right)\\
\Leftrightarrow - x + 2\left( {m + 1} \right) < 0,\forall x \in \left( {0;1} \right)\\
\Leftrightarrow m < \dfrac{x}{2} - 1,\forall x \in \left( {0;1} \right)\\
\Leftrightarrow m < \mathop {\min }\limits_{\left( {0;1} \right)} \left( {\dfrac{x}{2} - 1} \right)\\
\Leftrightarrow m < - 1\\
\Leftrightarrow m \in \left( { - \infty ; - 1} \right)\\
\text{Vậy} m \in \left( { - \infty ; - 1} \right)\\
6)y = {x^3} - 3{x^2} - 3\left( {m + 1} \right)x - m - 1\\
\text{Ta có}\\
y' > 0,\forall x \in \left[ { - 1;3} \right]\\
\Leftrightarrow 3{x^2} - 6x - 3\left( {m + 1} \right) > 0,\forall x \in \left[ { - 1;3} \right]\\
\Leftrightarrow {x^2} - 2x - m - 1 > 0,\forall x \in \left[ { - 1;3} \right]\\
\Leftrightarrow m < {x^2} - 2x - 1,\forall x \in \left[ { - 1;3} \right]\\
\Leftrightarrow m < \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;3} \right]} \left( {{x^2} - 2x - 1} \right)\\
\Leftrightarrow m < - 2\\
\Leftrightarrow m \in \left( { - \infty ; - 2} \right)\\
\text{Vậy} m \in \left( { - \infty ; - 2} \right)\\
7)y = {x^3} + 2m{x^2} - x + 2\\
\text{Ta có}\\
y' < 0,\forall x \in \left( {\dfrac{1}{2};5} \right)\\
\Leftrightarrow 3{x^2} + 4mx - 1 < 0,\forall x \in \left( {\dfrac{1}{2};5} \right)\\
\Leftrightarrow 4mx < - 3{x^2} + 1,\forall x \in \left( {\dfrac{1}{2};5} \right)\\
\Leftrightarrow m < \dfrac{{ - 3}}{4}x + \dfrac{1}{{4x}},\forall x \in \left( {\dfrac{1}{2};5} \right)\\
\Leftrightarrow m < \mathop {\min }\limits_{\left( {\dfrac{1}{2};5} \right)} \left( {\dfrac{{ - 3x}}{4} + \dfrac{1}{{4x}}} \right)\\
\Leftrightarrow m < \dfrac{{ - 37}}{{10}}\\
\Leftrightarrow m \in \left( { - \infty ;\dfrac{{ - 37}}{{10}}} \right)\\
\text{Vậy} m \in \left( { - \infty ;\dfrac{{ - 37}}{{10}}} \right)
\end{array}$
