Bây giờ ta biện luận bất đẳng thức không đúng với mọi $a,b,c>0$ thỏa $a^2+b^2+c^2=3$
Cho $a=\sqrt 2$, $b=\dfrac{3}{5}, c=\dfrac{4}{5}$ thì
$\begin{array}{l} ab + bc + ca = \dfrac{{3\sqrt 2 }}{5} + \dfrac{3}{5}.\dfrac{4}{5} + \dfrac{{4\sqrt 2 }}{5}\\ = \dfrac{{12 + 35\sqrt 2 }}{{25}}\\ a + b + c = \sqrt 2 + \dfrac{3}{5} + \dfrac{4}{5} = \dfrac{{7 + 5\sqrt 2 }}{5}\\ \Rightarrow \dfrac{{12 + 35\sqrt 2 }}{{25}} < \dfrac{{7 + 5\sqrt 2 }}{5}\\ \Rightarrow ab + bc + ca < a + b + c \end{array}$
Vậy bất đẳng thức không đúng với mọi $a,b,c>0$ thỏa $a^2+b^2+c^2=3$
