Lời giải:
a) Xét $\triangle ABD$ và $\triangle EBD$ có:
$\begin{cases}\widehat{A} = \widehat{E} = 90^\circ\\\widehat{ABD} = \widehat{EBD}\quad (gt)\\BD:\ \text{cạnh chung}\end{cases}$
Do đó $\triangle ABD= \triangle EBD$ (cạnh huyền - góc nhọn)
$\Rightarrow \widehat{ADB} = \widehat{EDB}$ (hai góc tương ứng)
Ta lại có:
$\widehat{EBD} = \widehat{HIB}$ (đồng vị)
$\widehat{HIB} = \widehat{AID}$ (đối đỉnh)
Do đó: $\widehat{ADB} = \widehat{AID}$
hay $\widehat{ADI} = \widehat{AID}$
$\Rightarrow \triangle AID$ cân tại $A$
b) Ta có:
$\triangle ABD= \triangle EBD$ (câu a)
$\Rightarrow \begin{cases}AB = EB\\AD = ED\qquad (1)\end{cases}$ (hai cạnh tương ứng)
$\Rightarrow BD$ là trung trực $AE$
mà $I\in BD$
nên $IA = IE\qquad (2)$
Ta lại có: $\triangle AID$ cân tại $A$ (câu a)
$\Rightarrow IA = AD\quad (3)$
Từ $(1)(2)(3)\Rightarrow AI = IE = ED = DA$
