Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Vẽ $ΔABC$ vuông tại $A$ có $∠B = 30^{0} ⇒ ΔABC $ là nửa $Δ$ đều
Không mất tính tổng quát đặt $AB = 1; AC = x ⇒ BC = 2AC = 2x$
Áp dụng Py ta go $: BC² = AB² + AC²$
$ ⇔ 4x² = 1 + x² ⇔ 3x² = 1 ⇔ x = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$
Vẽ phân giác $BD (D∈AC) ⇒ ∠ABD = 15^{0}$.
Theo tính chất phân giác và tính chất dãy tỷ số bằng nhau ta có:
$ cot15^{0} = cot∠ABD = \dfrac{AB}{AD} = \dfrac{BC}{DC} $
$ = \dfrac{AB + BC}{AC + DC} = \dfrac{AB + BC}{AC} = \dfrac{1}{x} + 2 = 2 + \sqrt{3}$
$ tan15^{0} = \dfrac{1}{cot15^{0}} = \dfrac{1}{2 + \sqrt{3}} = 2 - \sqrt{3}$
$ sin²15^{0} + cos²15^{0} = 1 ⇔ 1 + \dfrac{cos²15^{0}}{sin²15^{0}} = \dfrac{1}{sin²15^{0}}$
$ ⇒ \dfrac{1}{sin²15^{0}} = 1 + cot²15^{0} = 1 + (2 + \sqrt{3})² = 4(2 + \sqrt{3}) $
$ ⇒ sin²15^{0}= \dfrac{1}{4(2 + \sqrt{3})} = \dfrac{2 - \sqrt{3}}{4}$
$ = \dfrac{8 - 4\sqrt{3}}{16} = (\dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4})² ⇒ sin15^{0} = \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$
$ ⇒ cos²15^{0} = 1 - sin²15^{0} = 1 - \dfrac{2 - \sqrt{3}}{4} = \dfrac{2 + \sqrt{3}}{4} $
$ \dfrac{8 + 4\sqrt{3}}{16} = (\dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4})² ⇒ cos15^{0} = \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$
