Đáp án:
$D.\ m = 1$
Giải thích các bước giải:
$\quad y = x^3 - 3(m+1)x^2 + 9x + m -2$
$\Rightarrow y' = 3x^2 - 6(m+1)x + 9$
Hàm số có cực trị $\Leftrightarrow \Delta_{y'}' > 0$
$\Leftrightarrow 9(m+1)^2- 27 > 0$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}m > -1 + \sqrt3\\m < -1 -\sqrt3\end{array}\right.$
$\quad y'' = 6x - 6(m+1)$
$y'' = 0 \Leftrightarrow x = m +1 \Rightarrow y = - 2m^3 -6m^2 + 4m +5$
$\Rightarrow U(m+1;-2m^3 - 6m^2 + 4m +5)$ là điểm uốn của đồ thị hàm số
Khi đó, cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua $d: x - 2y = 0$
$\Leftrightarrow U(m+1;-2m^3 - 6m^2 + 4m +5)\in d$
$\Leftrightarrow m +1 - 2(-2m^3 - 6m^2 + 4m +5) = 0$
$\Leftrightarrow 4m^3 + 12m^2 - 7m -9= 0$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}m = 1\qquad \qquad\ \ (n)\\m = \dfrac{-4-\sqrt7}{2}\quad (n)\\m = \dfrac{-4+\sqrt7}{2}\quad (l)\end{array}\right.$
Vậy $m \in \left\{\dfrac{-4-\sqrt7}{2};1\right\}$
