Đáp án:
$\\$
`a`
Do `ΔABC` cân tại `A`
`-> AB=AC`
Do `AH` là tia phân giác của `hat{A}`
`-> hat{BAH}=hat{CAH}`
Xét `ΔABH` và `ΔACH` có :
`AH` chung
`AB=AC` (chứng minh trên)
`hat{BAH} = hat{CAH}` (chứng minh trên)
`-> ΔABH=ΔACH` (cạnh - góc - cạnh)
Do `ΔABC` cân tại `A`
`-> hat{ABC} = (180^o-hat{BAC})/2`
`-> hat{ABC} = (180^o-30^o)/2`
`-> hat{ABC}=150^o/2`
`-> hat{ABC}=75^o`
$\\$
$\\$
`b,`
Do `D` là trung điểm của `AC`
`-> AD =CD`
Do `D` là trung điểm của `HE`
`-> HD = ED`
Xét `ΔADH` và `ΔCDE` có :
`hat{ADH}=hat{CDE}` (2 góc đối đỉnh)
`AD=CD` (chứng minh trên)
`HD=ED` (chứng minh trên)
`-> ΔADH=ΔCDE` (cạnh - góc - cạnh)
`-> hat{HAD} = hat{ECD}` (2 góc tương ứng)
mà 2 góc này ở vị trí so le trong
$→ AH//CE$
Có : `D` là trung điểm của `AC`
`-> HD` là đường trung tuyến của `ΔAHC`
Có : `F` là trung điểm của `AH`
`-> CF` là đường trung tuyến của `ΔAHC`
Xét `ΔAHC` có :
`HD` là đường trung tuyến
`CF` là đường trung tuyến
`HD` cắt `CF` tại `Q`
`-> Q` là trực tâm của `ΔAHC`
`HD` là đường trung tuyến
`-> HQ = 2/3 HD`
mà `HD =1/2 HE` (Do `D` là trung điểm của `HE`)
`-> HQ = 2/3 . 1/2 HE`
`-> HQ = 1/3 HE`
$\\$
$\\$
`c,`
Do `ΔABH=ΔACH` (chứng minh trên)
`-> BH=CH` (2 cạnh tương ứng)
`-> H` là trung điểm của `BC`
`-> CH = 1/2 BC`
`-> BC = 2CH`
Do `ΔABH=ΔACH` (chứng minh trên)
`-> hat{AHB}=hat{AHC}` (2 góc tương ứng)
mà `hat{AHB} + hat{AHC}=180^o` (2 góc kề bù)
`-> hat{AHB}=hat{AHC}=180^o/2=90^o`
hay `AH⊥BC`
Xét `ΔFHC` có :
`hat{FHC}=90^o` (Do `AH⊥BC`)
Áp dụng quan hệ giữa góc và cạnh đối diện có :
`CF` là cạnh lớn nhất
`->CF > CH`
Nhân cả 2 vế cho `2` ta được :
`-> 2CF > 2CH`
mà `2CH = BC` (chứng minh trên)
`-> 2CF > BC`
Lại nhân cả 2 vế với 2 một lần nữa ta được :
`-> 4CF > 2BC` `(1)`
Có : \(\left\{ \begin{array}{l}AH//CE\\AH⊥BC\end{array} \right.\) (chứng minh trên)
`-> CE⊥BC`
Xét `ΔHCE` có :
`hat{HCE}=90^o` (Do `CE⊥BC`)
Áp dụng quan hệ giữa góc và cạnh đối diện có :
`HE` là cạnh lớn nhất
`-> HE > CH`
Nhân cả 2 vế với `2` ta được :
`-> 2HE > 2CH`
mà `2CH=BC` (chứng minh trên)
`-> 2HE > BC` `(2)`
Đem `(1) +(2)` vế với vế ta được :
`-> 2BC + BC < 2HE + 4CF`
`-> 3BC < 2HE + 4CF`
