$2^{\sin^2x}+2^{\cos^2x}=m$
$\to 2^{\sin^2x}+2^{1-\sin^2x}=m$
$\to 2^{\sin^2x}+\dfrac{2}{2^{\sin^2x}}=m$
$\to (2^{\sin^2x})^2-m.2^{\sin^2x}+2=0$
Đặt $t=2^{\sin^2x}$ ($t>0$)
$\to t^2-mt+2=0$ (*)
$2^{\sin^2x}=t$
$\sin^2x\in[0;1]\to t\in [1;2]$
PT ban đầu có nghiệm khi (*) có nghiệm dương thuộc $[1;2]$
$\Delta_{(*)}=m^2-4.2=m^2-8\ge 0$
$\to m\le -2\sqrt2$ hoặc $m\ge 2\sqrt2$
Hai nghiệm dương: $S>0, P>0$
$\to m>0$
$t_1=\dfrac{m-\sqrt{m^2-8}}{2}$
$t_2=\dfrac{m+\sqrt{m^2-8}}{2}$
ĐK: $1\le t_1\le t_2\le 2$
• Xét $t_1\ge 1\to m-\sqrt{m^2-8}\ge 2$
$\to \sqrt{m^2-8}\le m-2$ ($m\ge 2$ luôn đúng khi $\Delta'\ge 0$)
$\to m^2-8\le m^2-4m+4$
$\to m\le 3$
• Xét $t_2\le 2\to m+\sqrt{m^2-8}\le 4$
$\to \sqrt{m^2-8}\le -m+4$
$\to -m+4\ge 0; m^2-8\le m^2-4m+4$
$\to m\le 4; m\le 3$
$\to m\le 3$
$\to m$ phải thoả mãn đồng thời:
$m\in (-\infty;-2\sqrt2]\cup [2\sqrt2;+\infty)$
$m\in (-\infty;3]$
$m\in (0;\infty)$
Vậy $m\in [2\sqrt2;3]$
Chọn $C$
