Đáp án: $m=n=1, a=2$ hoặc $a=0, m, n\in Z$
Giải thích các bước giải:
Ta có:
$a^m+a^n=a^{m+n}$
$\to a^m+a^n=a^m\cdot a^n$
Đặt $a^m=x, a^n=y, x, y\in Z$
$\to x+y=xy$
$\to x+y-xy=0$
$\to x+y(1-x)=0$
$\to x-y(x-1)=0$
$\to (x-1)-y(x-1)=-1$
$\to (1-y)(x-1)=-1$
$\to (x-1)(y-1)=1$
Do $x, y\in Z$
$\to (x-1, y-1)\in U(1)$
$\to (x-1, y-1)\in\{(1, 1), (-1, -1)\}$
$\to (x,y)\in\{(2, 2), (0,0)\}$
$\to (a^m, a^n)\in\{(2, 2), (0,0)\}$
Do $m,n, a\in Z$
Trường hợp $(a^m, a^n)=(0,0)$
$\to a=0$
Trường hợp $(a^m, a^n)=(2,2)$
$\to a^m=a^n$
$\to m=n$
$\to a^m=2$
$\to a=\log_m2$
Do $a, m\in Z\to m=2, a=1$ (thử lại vô lý)
Hoặc $m=1, a=2$ (chọn)
