Đây là bất đẳng thức $Nesbitt$ và nó có rất nhiều cách để chưng minh bất đẳng thức này
Giả sử bất đẳng thức là đúng. Quy đồng cả hai vế cho $2(b+c)(c+a)(a+b)$
$\begin{array}{l} 2a\left( {a + c} \right)\left( {a + b} \right) + 2b\left( {b + c} \right)\left( {b + a} \right) + 2c\left( {c + a} \right)\left( {c + b} \right) \ge 3\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)\\ \Leftrightarrow 2\left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}} \right) \ge ab\left( {a + b} \right) + bc\left( {b + c} \right) + ca\left( {c + a} \right)\\ \Leftrightarrow {\left( {a - b} \right)^2}\left( {a + b} \right) + \left( {b + c} \right){\left( {b - c} \right)^2} + \left( {c + a} \right){\left( {c - a} \right)^2} \ge 0 \end{array}$
Từ đó ta suy ra điều phải chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c$
