`a)`vd ý a phương trình nhân `x_1=`$2+\sqrt[]{3}$ và `x_2=1` là nghiệm

ta có pt

$[x-(2+\sqrt[]{3})](x-1)=0$

 `<=>x^2-x-(2+`$\sqrt[]{3})x+2+\sqrt[]{3}=0$

`<=>x^2-(3+`$\sqrt[]{3})x+2+\sqrt[]{3}=0$

`________`

`b)` giả sử nhận `x_1=1;x_2=`$6-4\sqrt{2}$ là nghiệm ta có:

$[x-(6-4\sqrt{2})](x-1)=0$

`<=>`$x^2-x-(6-4\sqrt{2})x+6-4\sqrt{2}=0$

`<=>x^2-(7-4`$\sqrt{2})x+6-4\sqrt{2}$

`_________`

`c)`giả sử có : `x_1=`$\dfrac{1}{2-\sqrt[]{3}}$`;x_2=2-`$\sqrt[]{3}$ nhận làm nghiệm 

`=>pt`

`[x-(`$\dfrac{1}{2-\sqrt[]{3}})](x-(2-\sqrt{3}) $

`<=>x^2-(2-`$\sqrt{3})x-\dfrac{1}{2-\sqrt[]{3}+1}$ 

`<=>x^2-2`$\sqrt[]{3}$` x+1`

lúc đấy ta có:$\dfrac{1}{\sqrt[]{2}- \sqrt[]{3}}=-2$ $-\sqrt[]{3}$  

`_________`

`**`tổng kết`**`

`a)x^2-(3+`$\sqrt[]{3})x+2+\sqrt[]{3}=0$

`b)x^2-(7-4`$\sqrt{2})x+6-4\sqrt{2}$

`c)x^2-2`$\sqrt{3}$` x+1`

Đáp án:

a) $x² - 4x + 1 = 0 $

b) $x² - 12x + 4 = 0 $

c) $x² - 4x + 1 = 0 $

Giải thích các bước giải:

a) PT bậc 2 cần lập có dạng :

$ax² + bx + c = 0 (a \neq 0) (*)$

Vì $x = 2 + \sqrt{3}$ làm nghiệm nên ta có:

$a(2 + \sqrt{3})² + b(2 + \sqrt{3}) + c = 0$

$ ⇔ (7 + 4\sqrt{3})a  + b(2 + \sqrt{3}) + c = 0$

$ ⇔ 7a + 2b + c = - (4a + b)\sqrt{3} (**)$

Vì $a; b ; c ∈ Z ⇒ 7a + 2b + c ∈ Z; - (4a + b)\sqrt{3}∉Z$

Nên để thỏa mãn $(**)$ thì phải có:

$ 7a + 2b + c = 0 (1); - (4a + b) = 0 (2)$

$ (2) ⇒ b = - 4a $ thay vào $(1) ⇒ c = a$

Thay vào $(*) : ax² - 4ax + a = 0 $

$ ⇔ x² - 4x + 1 = 0 $ là PT cần lập

Cách khác :

Xét $x_{1} = 2 + \sqrt{3} ; x_{2} = 2 - \sqrt{3}$

$ ⇒ x_{1} + x_{2} = 4; x_{1}x_{2} = 1$

Theo đl Vi ét đảo $⇒ x_{1}; x_{2} $ là nghiệm PT:

$ x² - 4x + 1 = 0 $

b) Giải tương tự ta có PT cần lập là$: x² - 12x + 4 = 0$

c) Vì $\dfrac{1}{2 - \sqrt{3}} = 2 + \sqrt{3} $

nên theo câu a) thì PT cần lập là $x² - 4x + 1 = 0$