Đáp án:
$\\$
`a,`
Xét `ΔABC` vuông tại `A` có :
`AB^2+ AC^2=BC^2` (Pitago)
`-> BC^2 =6^2 + 8^2`
`-> BC^2 = 10^2`
`-> BC = 10cm`
$\\$
`b,`
Xét `ΔABM` và `ΔEBM` có :
`hat{BAM}=hat{BEM}` (Do `ΔABC` vuông tại `A, ME⊥BC`)
`BM` chung
`hat{ABM} = hat{EBM}` (Do `BM` là tia phân giác của `hat{B}`)
`-> ΔABM = ΔEBM` (cạnh huyền - góc nhọn)
`-> AB =EB` (2 cạnh tương ứng)
`-> ΔABE` cân tại `B`
`-> hat{BAE} = hat{BEA}`
Có : `hat{HAE} + hat{BEA}=90^o` (Do `AH⊥BC`)
Có : `hat{CAE} + hat{BAE} = 90^o` (Do `ΔABC` vuông tại `A`)
mà `hat{BAE}=hat{BEA}` (cmt)
`-> hat{HAE}=hat{CAE}`
`-> AE` là tia phân giác của `hat{CAH}`
$\\$
`c,`
Có : `AB=EB` (cmt)
`-> B` nằm trên đường trung trực của `AE` `(1)`
Do `ΔABM = ΔEBM` (cmt)
`-> AM=EM` (2 cạnh tương ứng)
`-> M` nằm trên đường trung trực của `AE` `(2)`
Từ `(1), (2)`
`->BM` là đường trung trực của `AE`
Xét `ΔMEC` có :
`hat{MEC}=90^o` (Do `ME⊥BC`)
Áp dụng quan hệ giữa góc và cạnh đối diện có :
`MC` là cạnh lớn nhất
`-> MC > ME`
mà `AM=ME` (cmt)
`-> AM < MC`
$\\$
`d,`
Xét `ΔAMI` và `ΔEMC` có :
`hat{AMI}=hat{EMC}` (2 góc đối đỉnh)
`AM=EM` (cmt)
`hat{IAM}=hat{CEM}=90^o` (Do `ΔABC` vuông tại `A, ME⊥BC`)
`-> ΔAMI = ΔEMC` (góc - cạnh - góc)
`-> AI = EC` (2 cạnh tương ứng)
Có : `BI = AB + AI, BC = EB + EC`
mà `AB=EB` (cmt), `AI =EC` (cmt)
`-> BI = BC`
`-> ΔBIC` cân tại `B`
$\\$
`e,`
Có : `hat{HKC} + hat{HCK}=90^o` (Do `KH⊥BC`)
`-> hat{HKC} < 90^o`
Có : `hat{HKC} + hat{AKC}=180^o` (2 góc kề bù)
mà `hat{HKC} < 90^o`
`-> hat{AKC} > 90^o`
`-> hat{AKC}` là góc tù
Xét `ΔAKC` có :
`hat{AKC}` là góc tù
Áp dụng quan hệ giữa góc và cạnh đối diện có :
`AC` là cạnh lớn nhất
`-> KC < AC` `(3)`
Có : `hat{HKB} + hat{KBH}=90^o` (Do `KH⊥BC`)
`-> hat{HKB} < 90^o`
Có : `hat{HKB} + hat{AKB}=180^o` (2 góc kề bù)
mà `hat{HKB} < 90^o`
`-> hat{AKB} > 90^o`
`-> hat{AKB}` là góc tù
Xét `ΔAKB` có :
`hat{AKB}` là góc tù
Áp dụng quan hệ giữa góc và cạnh đối diện có :
`AB` là cạnh lớn nhất
`-> KB < AB` `(4)`
Lấy `(3) + (4)` vế với vế ta được :
`-> KB + KC < AB + AC`
