Kẻ AH ⊥ BC ⇒ $\widehat{AHB}=\widehat{AHC}=90°$
Xét (O) đường kính BC có:
+ E ∈ (O) (gt) ⇒ $\widehat{BEC}=90°$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
+ F ∈ (O) (gt) ⇒ $\widehat{BFC}=90°$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Xét ΔAHB và ΔCEB có:
$\widehat{AHB}=\widehat{BEC}=90°$
$\widehat{ABC}$: góc chung
⇒ ΔAHB ~ ΔCEB (g.g)
⇒ $\frac{AB}{BC}=\frac{HB}{BE}$ (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)
⇒ AB.BE = HB.BC
Xét ΔAHC và ΔBFC có:
$\widehat{AHC}=\widehat{BFC}=90°$
$\widehat{ACB}$: góc chung
⇒ ΔAHC ~ ΔBFC (g.g)
⇒ $\frac{AC}{BC}=\frac{HC}{CF}$ (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)
⇒ AC.CF = HC.BC
⇒ AB.BE + AC.CF = HB.BC + HC.BC = BC.(HB+HC) = BC.BC = BC² = (2R)² = 4R²
