Bài `12)`
`P=(x+5)(x+7)(x+9)(x+11)+16`
`=(x+5)(x+11)(x+7)(x+9)+16`
`=(x^2+11x+5x+55)(x^2+9x+7x+63)+16`
`=(x^2+16x+55).(x^2+16x+55+8)+16`
`=(x^2+16x+55)^2+8.(x^2+16x+55)+16`
`=(x^2+16x+55)^2+2.(x^2+16x+55).4+4^2`
`=(x^2+16x+55+4)^2=(x^2+16x+59)^2`
Với `x\in ZZ=>P=(x^2+16x+59)^2\in ZZ`
Vậy `P` là số chính phương với mọi `x\in ZZ`
$\\$
Bài `13)` `a^2+b^2=13`
`\qquad a^3-3ab^2=(-9)`
`=>(a^3-3ab^2)^2=(-9)^2`
`=>81=a^6-6a^4b^2+9a^2b^4` $(1)$
$\\$
Đặt `x=( |b^3-3a^2b|)^2=(b^3-3a^2b)^2\ quad (x\ge 0)`
`=>x=b^6-6a^2b^4+9a^4b^2` $(2)$
Lấy `(1)+(2)` vế theo vế ta được:
`\qquad 81+x=a^6+3a^4b^2+3a^2b^4+b^6`
`=>81+x`
`=(a^2)^3+3.(a^2)^2 .b^2+3a^2 (b^2)^2+(b^2)^3`
`=>81+x=(a^2+b^2)^3`
`=>81+x=13^3\quad ` (vì `a^2+b^2=13`)
`=>x=13^3-81=2116`
`=>x=(|b^3-3a^2b|)^2=2116=46^2`
`=>|b^3-3a^2b|=46` (vì `|b^3-3a^2b|\ge 0|` với mọi `a;b`)
Vậy `|b^3-3a^2b|=46`
