+) Nếu $∆ABC$ đều
`=>AD;BE;CF` vừa là đường cao và đường trung tuyến
`=>D;E;F` lần lượt là trung điểm $BC; AC;AB$
Áp dụng quy tắc trung điểm ta có:
`\vec{AB}+\vec{AC}=2\vec{AD}`
`\vec{BA}+\vec{BC}=2\vec{BE}`
`\vec{CA}+\vec{CB}=2\vec{CF}`
`=>2(\vec{AD}+\vec{BE}+\vec{CF})`
`=\vec{AB}+\vec{BA}+\vec{AC}+\vec{CA}+\vec{BC}+\vec{CB}=\vec{0}`
`=>\vec{AD}+\vec{BE}+\vec{CF}=\vec{0}`
`=>` Nếu `∆ABC` đều thì `\vec{AD}+\vec{BE}+\vec{CF}=\vec{0}` $(1)$
$\\$
+) Nếu `vec{AD}+\vec{BE}+\vec{CF}=\vec{0}`
`=>\vec{BC}.(\vec{AD}+\vec{BE}+\vec{CF})=\vec{0}.\vec{BC}`
`=>\vec{BC}.\vec{AD}+\vec{BE}.\vec{BC}+\vec{CF}.\vec{BC}=0`
`=>0+\vec{BE}.(\vec{BE}+\vec{EC})+\vec{CF}.(\vec{BF}+\vec{FC})=0`
`=>BE^2+\vec{BE}.\vec{EC}+\vec{CF}.\vec{BF}+\vec{CF}.(-vec{CF})=0`
`=>BE^2+0+0-CF^2=0`
`=>BE^2=CF^2=>BE=CF`
Chứng minh tương tự được: $AD=BE$
`=>AD=BE=CF`
Vì `S_{∆ABC}=1/2AD.BC=1/2BE.AC=1/2CF.AB`
`=>BC=AC=AB`
`=>∆ABC` đều
`=>` Nếu `\vec{AD}+\vec{BE}+\vec{CF}=\vec{0}` thì $∆ABC$ đều $(2)$
Từ `(1);(2)=>đpcm`
