Lời giải:
a) Áp dụng định lý Pytago vào $\triangle ABH$ vuông tại $H$ ta được:
$\quad AB^2 = AH^2 + BH^2$
$\Rightarrow AH = \sqrt{AB^2 - BH^2} = \sqrt{15^2 - 9^2}$
$\Rightarrow AH = 12$
Áp dụng hệ thức lượng trong $\triangle ABC$ vuông tại $A$ đường cao $AH$ ta được:
$\quad AH^2 = BH.HC$
$\Rightarrow HC =\dfrac{AH^2}{BH} = \dfrac{12^2}{9}$
$\Rightarrow HC = 16$
b) Áp dụng hệ thức lượng trong $\triangle ABC$ vuông tại $A$ đường cao $AH$ ta được:
$\quad AB^2 = BH.BC$
$\Rightarrow BC= \dfrac{AB^2}{BH} = \dfrac{15^2}{9}$
$\Rightarrow BC = 25$
Khi đó:
$\quad S_{ABC} = \dfrac12AH.BC = \dfrac12\cdot 12\cdot 25$
$\Leftrightarrow S_{ABC} = 150$
$\Rightarrow S_{ABM} = \dfrac12S_{ABC} = 75$
Ta lại có:
$\quad S_{ABH} = \dfrac12AH.BH = \dfrac12\cdot 12\cdot 9$
$\Leftrightarrow S_{ABH} = 54$
Ta được:
$S_{AHM} = S_{ABM} - S_{ABH} = 75 - 54 = 21$
c) Sửa đề: $ED = AB.\sin\widehat{BAM}$
Xét tứ giác $AEHD$ có:
$\widehat{A} = \widehat{E} = \widehat{D} = 90^\circ$
Do đó $AEHD$ là hình chữ nhật
$\Rightarrow ED = AH\qquad\qquad\qquad\quad\ \ \ (1)$
Ta có: $M$ là trung điểm cạnh huyền $BC$
$\Rightarrow MA = MB =MC = \dfrac12BC$
$\Rightarrow \triangle MAB$ cân tại $M$
$\Rightarrow \widehat{BAM} = \widehat{ABM}= \widehat{ABH}\qquad (2)$
Xét $\triangle ABH$ vuông tại $H$ có:
$\sin\widehat{ABH} = \dfrac{AH}{AB}$
$\Rightarrow AH = AB.\sin\widehat{ABH}\qquad \quad\ \ (3)$
Từ $(1)(2)(3)\Rightarrow ED = AB.\sin\widehat{BAM}$
