`a)`
Vì `ABCD` là hình bình hành
`⇒AD////BC(` tính chất hình bình hành `)`
`AD=CB(` tính chất hình bình hành `)`
`DO=BO(` tính chất hình bình hành `)`
`AO=CO(` tính chất hình bình hành `)`
Vì `AD////BC(cmt)`
`⇒hat{DAO}=hat{BCO}(2` góc so le trong `)`
`hat{ADO}=hat{CBO}(2` góc so le trong `)`
Ta có:`hat{DAO}=hat{A_1}+hat{A_2}`
`hat{BCO}=hat{C_1}+hat{C_2}`
Mà `hat{DAO}=hat{BCO}(cmt)`
`hat{A_1}=hat{A_2}(g``t)`
`hat{C_1}=hat{C_2}(g``t)`
`⇒hat{A_1}=hat{A_2}=hat{C_1}=hat{C_2}`
Xét `ΔDAE` và `ΔBCG` có:
`hat{ADO}=hat{CBO}(cmt)`
`AD=CB(cmt)`
`hat{A_1}=hat{C_2}(cmt)`
`⇒ΔDAE=ΔBCG(g.c.g)`
`⇒DE=BG(2` cạnh tương ứng `)`
Ta có:`DO=DE+EO`
`BO=BG+GO`
Mà `DO=BO(cmt)`
`DE=BG(cmt)`
`⇒EO=GO(1)`
Ta có:`hat{ADO}=hat{D_1}+hat{D_2}`
`hat{CBO}=hat{B_1}+hat{B_2}`
Mà `hat{ADO}=hat{CBO}(cmt)`
`hat{D_1}=hat{D_2}(g``t)`
`hat{B_1}=hat{B_2}(g``t)`
`⇒hat{D_1}=hat{D_2}=hat{B_1}=hat{B_2}`
Xét `ΔDAF` và `ΔBCH` có:
`hat{DAO}=hat{BCO}(cmt)`
`AD=CB(cmt)`
`hat{D_1}=hat{B_2}(cmt)`
`⇒ΔDAF=ΔBCH(g.c.g)`
`⇒AF=CH(2` cạnh tương ứng `)`
Ta có:`AO=AF+FO`
`CO=CH+HO`
Mà `AO=CO(cmt)`
`AF=CH(cmt)`
`⇒FO=OH(2)`
Từ `(1)` và `(2)⇒` tứ giác `EFGH` là hình bình hành `(` tứ giác có `2` đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành `)(đpcm)`
`b)`
Xét `ΔADI` và `ΔCBK` có:
`hat{A_1}=hat{C_2}(cmt)`
`AD=CB(cmt)`
`hat{D_1}=hat{B_2}(cmt)`
`⇒ΔADI=ΔCBK(g.c.g)`
`⇒AI=CK(2` cạnh tương ứng `)(3)`
Ta có:`hat{A_2}=hat{C_1}(cmt)`
Mà `2` góc này nằm ở vị trí so le trong
`⇒AI////CK(4)`
Từ `(3)` và `(4)⇒` tứ giác `AICK` là hình bình hành `(` tứ giác có `2` cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành `)`
`⇒O` là trung điểm của `IK(` tính chất hình bình hành `)(đpcm)`
