Đáp án:
$m = \dfrac23$
Giải thích các bước giải:
$(C): y = f(x) = \dfrac{2x+1}{x+1}\qquad TXĐ: D = \Bbb R\backslash \{-1\}$
$d: y = x + m$
Phương trình hoành độ giao điểm:
$\quad \dfrac{2x + 1}{x+1} = x + m$
$\Leftrightarrow 2x + 1 = (x+1)(x+m)$
$\Leftrightarrow 2x + 1 =x^2 + (m+1)x + m$
$\Leftrightarrow x^2 + (m-1)x + m - 1 =0\qquad (*)$
$d$ cắt $(C)$ tại hai điểm phân biệt $A,\ B$
$\Leftrightarrow (*)$ có `2` nghiệm phân biệt
$\Leftrightarrow \Delta_{(*)} >0$
$\Leftrightarrow (m-1)^2 - 4(m-1)>0$
$\Leftrightarrow (m-1)(m-5) >0$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}m >5\\m < 1\end{array}\right.$
Gọi $x_1;\ x_2$ lần lượt là hoành độ của $A$ và $B$
$\Rightarrow x_1;\ x_2$ là hai nghiệm phân biệt của $(*)$
Áp dụng định lý Viète ta được:
$\begin{cases}x_1 + x_2 = -(m-1)\\x_1x_2 = m - 1\end{cases}$
Ta có:
$\begin{cases}A(x_1;f(x_1))\\B(x_2;f(x_2))\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}\overrightarrow{OA} = (x_1;f(x_1))\\\overrightarrow{OB} = (x_2;f(x_2))\end{cases}$
Khi đó:
$\quad \triangle OAB$ vuông tại $O \Leftrightarrow \overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB} = 0$
$\Leftrightarrow x_1x_2 + f(x_1).f(x_2) = 0$
$\Leftrightarrow x_1x_2 + \dfrac{2x_1+1}{x_1 + 1}\cdot \dfrac{2x_2 + 1}{x_2 + 1} = 0$
$\Leftrightarrow x_1x_2 + \dfrac{4x_1x_2 + 2(x_1 + x_2) + 1}{x_1x_2 + x_1 + x_2 + 1} = 0$
$\Leftrightarrow m - 1 + \dfrac{4(m-1) - 2(m-1) + 1}{m-1 - (m-1) + 1} = 0$
$\Leftrightarrow 3(m-1) + 1 =0$
$\Leftrightarrow m = \dfrac23\ \ $ (nhận)
Vậy $m = \dfrac23$
