`a)`
Xét `ΔABC` có:
`BD⊥AC(g``t)`
`CE⊥AB(g``t)`
`BD∩CE={H}`
`⇒H` là trực tâm của `ΔABC`
`⇒AH⊥BC`
Mà `HF⊥BC(g``t)`
`⇒A,H,F` thẳng hàng `(đpcm)`
`b)`
Xét `ΔHBE` và `ΔHCD` có:
`hat{HEB}=hat{HDC}=90^o`
`hat{H_1}=hat{H_2}(2` góc đối đỉnh `)`
`⇒ΔHBE`$\backsim$`ΔHCD(g.g)`
`⇒(HE)/(HD)=(HB)/(HC)`
`⇒HE.HC=HB.HD(đpcm)`
`c)`
Xét `ΔBFH` và `ΔBDC` có:
`hat{BFH}=hat{BDC}=90^o`
`hat{B}:chung`
`⇒ΔBFH`$\backsim$`ΔBDC(g.g)`
`⇒(BH)/(BC)=(BF)/(BD)`
`⇒BH.BD=BC.BF(1)`
Xét `ΔCFH` và `ΔCEB` có:
`hat{BFH}=hat{CEB}=90^o`
`hat{C}:chung`
`⇒ΔCFH`$\backsim$`ΔCEB(g.g)`
`⇒(CH)/(CB)=(CF)/(CE)`
`⇒CH.CE=CB.CF(2)`
Cộng vế theo vế `(1)` và `(2)` ta được:
`BH.BD+CH.CE=BC.BF+CB.CF`
`⇒BH.BD+CH.CE=BC.(BF+CF)`
`⇒BH.BD+CH.CE=BC.BC`
`⇒BH.BD+CH.CE=BC²(đpcm)`
