Đáp án:
GTNN = $\frac{5}{2}$
Giải thích các bước giải:
P = $\frac{x}{y}$ + $\frac{y}{x}$ + $\frac{xy}{x²+y²}$
⇔ P = $\frac{x²+y²}{xy}$ + $\frac{xy}{x²+y²}$
Áp dụng bất đẳng thức cô si ta được ( x; y > 0 )
x² + y² ≥ 2xy
⇒ $\frac{x²+y²}{xy}$ ≥ 2
Đặt $\frac{x²+y²}{xy}$ = t ( t ≥ 2 )
⇒ P = t + $\frac{1}{t}$ = $\frac{t²+1}{t}$
Ta đi chứng minh P ≥ $\frac{5}{2}$
⇔ $\frac{t²+1}{t}$ ≥ $\frac{5}{2}$
⇔ 2×( t² + 1 ) ≥ 5t
⇔ 2t² - 5t - 2 ≥ 0
⇔ ( t - 2 )×( 2t + 1 ) ≥ 0 luôn đúng ∀ t ≥ 2
Dấu "=" xảy ra ⇔ t = 2 ⇔ x = y
