Đáp án + giải thích các bước giải:
Đề đúng phải là `a/(4b^2+1)+b/(4c^2+1)+c/(4a^2+1)>=(a\sqrt{a}+b\sqrt{b}+c\sqrt{c})^2`
Đặt `A=a/(4b^2+1)+b/(4c^2+1)+c/(4a^2+1)`
`=a^3/(4a^2b^2+a^2)+b^3/(4b^2c^2+b^2)+c^3/(4c^2a^2+c^2)`
Áp dụng bất đẳng thức cộng mẫu, có:
`A>=(a\sqrt{a}+b\sqrt{b}+c\sqrt{c})^2/(4(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)+a^2+b^2+c^2)`
Ta cần chứng minh `A>=(a\sqrt{a}+b\sqrt{b}+c\sqrt{c})^2`
Tức là: `(a\sqrt{a}+b\sqrt{b}+c\sqrt{c})^2/(4(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)+a^2+b^2+c^2)>=(a\sqrt{a}+b\sqrt{b}+c\sqrt{c})^2`
hay: `4(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)+a^2+b^2+c^2<=1`
`->4(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)+a^2+b^2+c^2<=(a+b+c)^2`
`->2ab+2bc+2ca-4(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)>=0`
`->ab(1-2ab)+bc(1-2bc)+ca(1-2ca)>=0`
mà theo bất đẳng thức `(a+b+c)^2>=3(ab+bc+ca)` thì `ab+bc+ca<=1/3`
`->đpcm`
Dấu bằng xảy ra khi `(a;b;c)=(1;0;0)` và các hoán vị
