`a)`
Ta có: `AQB =90^0` (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
`⇒ MQA =90^0` (kề bù `AQB`) `(1)`
Xét `ΔMAO` và `ΔMCO`,có:
`OA=OC`
`OM` chung
`⇒ ΔMAO=ΔMCO`
`⇒ AOM =COM`
`⇒ OM` là tia phân giác của `AOC`
Mà `ΔAOC` cân
`⇒ OM⊥AC`
`⇒ MIA =90^0 (2)`
Từ `(1)` và `(2) ⇒ MIA =MQA` cùng nhìn cung MA `1` góc `90^0`
`⇒ M,Q,I,A` cùng thuộc `1` đường tròn `R =`$\frac{MA}{2}$
`b)`
`AQI=AMI (3)`
`ACO+ACM=90^0`
Mà `ΔAMC` cân tại `M`
`⇒ ACO+MAC=90^0`
Mà `MAC+AMI`
`⇒ ACO=AMI`
Từ `(3)` và `(4) ⇒ AQI=ACO`
`c)`
`BC` cắt `AM` tại `K`.
Ta có: `KAC=MCA` ( `ΔAMC` cân)
Mà `KAC+AKC=90^0` (`ΔAKC` vuông tại `C`)
`⇒ MCA+AKC=90^0`
Mà `MCA+MCK =90^0`
`⇒ AKC=MCK`
`⇒ ΔMKC` cân tại `M`
`⇒ MC=MK`
Mà `MC=MA` (tính chất `2` tiếp tuyến cắt nhau)
`⇒ MK=MA`
Ta có: `HN // MA` (cùng vuông góc `AB`)
`⇒` $\frac{HN}{MA}$ `=` $\frac{BN}{BM}$ (hệ quả thales) `(1)`
Ta có: `CN // MK` ( `C` thuộc tia `HN, K` thuộc tia `AM`)
`⇒` $\frac{CN}{MK}$ `=` $\frac{BN}{BM}$ (hệ quả thales) `(2)`
Từ `(1)` và `(2)` và `MA=MK ⇒ CN = HN`
