Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Gọi A và B lần lượt là giao điểm của đường thẳng `(d)` với trục `Ox, Oy.`
Ta có: `A(\frac{2-m}{3m-2};0)`
`B(0;m-2)`
`⇒ OA=|\frac{2-m}{3m-2}|`
`OB=|m-2|`
Kẻ `OH \bot AB`
Xét `ΔOAB` vuông tại `O,` đường cao `OH:`
`\frac{1}{OH^2}=\frac{1}{OA^2}+\frac{1}{OB^2}` (hệ thức lượng trong tam giác vuông)
Đặt \(\dfrac{1}{{O{H^2}}} = t\) ta có:
`t=\frac{1}{OA^2}+\frac{1}{OB^2}`
`=\frac{(3m-2)^2}{(2-m)^2}+\frac{1}{(m-2)^2}`
`=\frac{9x^2-12x+5}{m^2-4m+4}\ (m \ne 2)`
`⇔ t(m^2-4m+4)=9m^2-12m+5`
`⇔ tm^2-4tm+4t-9m^2+12m-5=0`
`⇔ (t-9)m^2-4(t-3)m+4t-5=0\ (1)`
PT `(1)` có nghiệm khi
`Δ' \ge 0`
`⇔ [-2(t-3)]^2-(t-9)(4t-5) \ge 0`
`⇔ 4t^2-24t+36-4t^2+41t-45 \ge 0`
`⇔ 17t-9 \ge 0`
`⇔ t \ge 9/17`
`⇒ \frac{1}{OH^2} \ge \frac{9}{17}`
`⇒ OH \le \frac{\sqrt{17}}{3}`
Vậy `OH_{max}=\frac{\sqrt{17}}{3}`
Dấu "=" xảy ra khi:
`m=\frac{-b}{2a}=\frac{7}{12}`
